13.如圖,P為邊長為6的正方形ABCD的邊BC上一動點(P與B、C不重合),Q在CD上,且CQ=BP,連接AP、BQ,將△BQC沿BQ所在的直線翻折得到△BQE,延長QE交BA的延長線于點F.
(1)試探究AP與BQ的數(shù)量與位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)E是FQ的中點時,求BP的長;
(3)若BP=2PC,求QF的長.

分析 (1)證明△ABP≌△BCQ,則∠BAP=∠CBQ,從而證明∠CBQ+∠APB=90°,進而得證;
(2)先由折疊得出∠CBQ=∠EBQ,再由垂直平分線得出∠EBQ=∠EBF,即可得出∠CBQ=30°,即可得出結(jié)論.
(3)設(shè)FQ=FB=x,則FE=x-4.在直角△FBE中,利用勾股定理即可列方程求解;

解答 解:(1)AP⊥BQ
理由:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC.
∴在△ABP和△BCQ中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△BCQ,
∴∠BAP=∠CBQ.
∵∠BAP+∠APB=90°,
∴∠CBQ+∠APB=90°,
∴∠BEP=90°,
∴AP⊥BQ;
(2)∵將△BQC沿BQ所在的直線翻折得到△BQE,
∴∠CBQ=∠EBQ,∠QEB=∠FEB=90°,
∵E是FQ的中點,
∴QE=FE,
∴∠QBE=∠FBE,
∴∠CBQ=∠EBQ=∠FBQ=$\frac{1}{3}$∠ABC=30°,
在Rt△BCQ中,tan∠CBQ=tan30°=$\frac{CQ}{BC}$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{CQ}{6}$,
∴CQ=2$\sqrt{3}$,
由(1)知,△ABP≌△BCQ,
∴BP=CQ=2$\sqrt{3}$;
(3)由(1)可得EQ=CQ=BP=4,EB=BC=6.
又∵∠EQB=∠CQB=∠ABQ,
∴FQ=FB.
設(shè)FQ=FB=x,則FE=x-4.
在Rt△FBE中,F(xiàn)B2=BE2+FE2,
即x2=62+(x-4)2,
解得:x=$\frac{13}{2}$,
即FQ=$\frac{13}{2}$;

點評 此題是四邊形綜合題,主要考查正方形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),全等三角形的判定,勾股定理,銳角三角函數(shù),判斷出FQ=FB是解本題的關(guān)鍵,利用直角三角形是解這類題目的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上一個動點,以P為圓心的圓始終與y軸相切,設(shè)切點為A.
(1)當(dāng)⊙P運動到與x軸也相切于K點時,如圖1,判斷四邊形OAPK的形狀,并說明理由.
(2)當(dāng)⊙P運動到與x軸相交于B、C兩點時,已知B、C兩點的坐標(biāo)分別為B(1,0)、C(3,0),且四邊形ABCP為菱形,如圖2,求反比例函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.如圖,A、B(0,2)兩點關(guān)于x軸對稱,點P為x軸正半軸上任意一點.點C在線段PB上,AC交x軸于點M,CD平分∠ACB交x軸于點D.
(1)如圖,若CB=CM,連BD.求證:BD=MD;
(2)在(1)的條件下,連接AD,若點N在線段AM上(不含A、M點)運動,且NE⊥PD于E,NF⊥AD于F.則在N點運動的過程中,NE+NF的值是否發(fā)生變化?若不變,請證明求值;若變化,請求出變化范圍.
(3)若點C在線段PB(不含P、B兩點)運動,其余條件不變,OH∥CD分別交AC、PB于G,H,在C點的運動過程中,$\frac{AC-BH}{CG}$的值是否發(fā)生變化?若不變,證明并求值;若變化,請求出變化范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE,延長BG交CD于點F.若AB=6,BC=$\sqrt{96}$,則DF的長為      ( 。
A.2B.4C.$\sqrt{6}$D.$2\sqrt{3}$

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.如圖,拋物線頂點坐標(biāo)為點C(2,8),交x軸于點A (6,0),交y軸于點B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點Q (x,0)是線段OA上的一動點,過Q點作x軸的垂線,交拋物線于P點,交直線BA于D點,求PD與x之間的函數(shù)關(guān)系式并求出PD的最大值;
(3)x軸上是否存在一點Q,過點Q作x軸的垂線,交拋物線于P點,交直線BA于D點,使以PD為直徑的圓與y軸相切?若存在,求出Q點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,射線OA交反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$(x>0)圖象于點P,點R為反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$(x>0)圖象上的另一點,且PR=2OP,分別過點P、R作x軸、y軸的平行線,兩線相交于點M(a,b),直線MR交x軸于點B,過點P作y軸的平行線分別交直線OM和x軸于點Q、H,連接RQ.
(1)求出點P、R的坐標(biāo)和直線OM 的解析式(用含a、b 的式子表示);
(2)試探究∠MOB和∠AOB之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如果將反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$(x>0)改為y=$\frac{k}{x}$(k>0,x>0)時,上述(2)中的結(jié)論是否成立是(填“是”或“否”).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

5.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=$\frac{1}{4}$x2-bx+c與x軸交于點A(8,0)、B(2,0)兩點,與y軸交于點C.

(1)如圖1,求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P為第四象限拋物線上一點,連接PB并延長交y軸于點D,若點P的橫坐標(biāo)為t,CD長為d,求d與t的函數(shù)關(guān)系式(并求出自變量t的取值范圍);
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接AC,過點P作PH⊥x軸,垂足為點H,延長PH交AC于點E,連接DE,射線DP關(guān)于DE對稱的射線DG交AC于點G,延長DG交拋物線于點F,當(dāng)點G為AC中點時,求點F的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,則∠A的正弦值為( 。
A.$\frac{5}{12}$B.$\frac{12}{13}$C.$\frac{12}{5}$D.$\frac{5}{13}$

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.如圖:函數(shù)y1=$\frac{1}{2}$x-2和y=-3x+5交于點A(2,-1),當(dāng)x<2 時y1<y2

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