分析 (1)證明△ABP≌△BCQ,則∠BAP=∠CBQ,從而證明∠CBQ+∠APB=90°,進而得證;
(2)先由折疊得出∠CBQ=∠EBQ,再由垂直平分線得出∠EBQ=∠EBF,即可得出∠CBQ=30°,即可得出結(jié)論.
(3)設(shè)FQ=FB=x,則FE=x-4.在直角△FBE中,利用勾股定理即可列方程求解;
解答 解:(1)AP⊥BQ
理由:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠C=90°,AB=BC.
∴在△ABP和△BCQ中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△BCQ,
∴∠BAP=∠CBQ.
∵∠BAP+∠APB=90°,
∴∠CBQ+∠APB=90°,
∴∠BEP=90°,
∴AP⊥BQ;
(2)∵將△BQC沿BQ所在的直線翻折得到△BQE,
∴∠CBQ=∠EBQ,∠QEB=∠FEB=90°,
∵E是FQ的中點,
∴QE=FE,
∴∠QBE=∠FBE,
∴∠CBQ=∠EBQ=∠FBQ=$\frac{1}{3}$∠ABC=30°,
在Rt△BCQ中,tan∠CBQ=tan30°=$\frac{CQ}{BC}$,
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{CQ}{6}$,
∴CQ=2$\sqrt{3}$,
由(1)知,△ABP≌△BCQ,
∴BP=CQ=2$\sqrt{3}$;
(3)由(1)可得EQ=CQ=BP=4,EB=BC=6.
又∵∠EQB=∠CQB=∠ABQ,
∴FQ=FB.
設(shè)FQ=FB=x,則FE=x-4.
在Rt△FBE中,F(xiàn)B2=BE2+FE2,
即x2=62+(x-4)2,
解得:x=$\frac{13}{2}$,
即FQ=$\frac{13}{2}$;
點評 此題是四邊形綜合題,主要考查正方形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),全等三角形的判定,勾股定理,銳角三角函數(shù),判斷出FQ=FB是解本題的關(guān)鍵,利用直角三角形是解這類題目的關(guān)鍵.
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A. | 2 | B. | 4 | C. | $\sqrt{6}$ | D. | $2\sqrt{3}$ |
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A. | $\frac{5}{12}$ | B. | $\frac{12}{13}$ | C. | $\frac{12}{5}$ | D. | $\frac{5}{13}$ |
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