Question

在平面直角坐標系中，如圖所示，△AOB是邊長為2的等邊三角形，將△AOB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DCB，使得點D落在x軸的正半軸上，連接OC，AD．
（1）求證：OC=AD；
（2）求OC的長；
（3）求過A、D兩點的直線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△DCB是由△AOB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，得出△DCB也是邊長為2的等邊三角形，進而求出△OBC≌△ABD即可得出答案；
（2）作CF⊥OD交x軸于點F．由勾股定理得：CF²=BC²-BF²，求出CF，進而得出CO．
（3）首先求出A，D兩點的坐標，進而得出直線AD的解析式即可．
解答：解：（1）∵△AOB是邊長為2的等邊三角形，
∴OA=OB=AB=2，∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°，
又△DCB是由△AOB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，
∴△DCB也是邊長為2的等邊三角形，
∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴OC=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等），

（2）如圖1，作CF⊥OD交x軸于點F，則F為BD的中點，
∴BF=1，
在Rt△BCF中，BC=2，BF=1，
由勾股定理得：CF²=BC²-BF²=4-1=3，
CF=，
在Rt△OCF中，OF=OB+BF=2+1=3，
由勾股定理得：OC²=OF²+CF²=9+3=12，
∴OC==2；

（3）作AE⊥OB交x軸于點E，則E為OB的中點，
∴OE=1，AE=CF=，
∴A點的坐標是（1，）又OD=OB+BD=2+2=4，
故D點的坐標是（4，0）．
設(shè)過A、D兩點的直線的解析式為y=kx+b，將A，D點的坐標代入得：
 ，
解得：，
∴過A、D兩點的直線的解析式為y=-x+．
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確利用圖形上點的坐標得出解析式是解題關(guān)鍵．