Question

在100個連續(xù)自然數(shù)1，2，…，100中，任取51個數(shù)．證明：這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)．

Answer 1

分析：首先把1，2，…，100分成50組，100個數(shù)中每一個都在某一組中且只在一組中，任取51個數(shù)，由抽屜原則至少有2個數(shù)來自同一組，這兩個數(shù)中大數(shù)必是小數(shù)的倍數(shù)．

解答：證明：把1，2，…，100分成如下50組：
A₁={1，1×2，1×2²，1×2³，1×2⁴，1×2⁵，1×2⁶}
A₂={3，3×2，3×2²，3×2³，3×2⁴，3×2⁵}
A₃={5，5×2，5×2²，5×2³，5×2⁴}
A₄={7，7×2，7×2²，7×2³}
•
A₂₅={49，49×2}
A₂₆={51}
A₂₇={53}
•
A₅₀={99}
則100個數(shù)中每一個都在某一組中且只在一組中，任取51個數(shù)，由抽屜原則至少有2個數(shù)來自同一組，這兩個數(shù)中大數(shù)必是小數(shù)的倍數(shù)．

點評：本題主要考查抽屜原理的知識點，解答本題的關(guān)鍵是把50個數(shù)進行分組，然后利用抽屜原理進行解答，本題難度較大．