解:(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
根據(jù)題意,得:
解之,得k=
,b=-8
∴直線AB的解析式為y=
x-8
(2)設(shè)拋物線對稱軸交x軸于F,
∵∠AOB=90°,
∴AB為圓M的直徑,即AM=BM,
∴拋物線的對稱軸經(jīng)過點M,且與y軸平行,OA=6,
∴對稱軸方程為x=3,
作對稱軸交圓M于C,
∴MF是△AOB的中位線,
∴MF=
BO=4,
∴CF=CM-MF=1,
∵點C(3,1),由題意可知C(3,1)就是所求拋物線的頂點.
方法一:設(shè)拋物線解析式為y=a(x-3)
2+1,
∵拋物線過點B(0,-8),
∴-8=a(0-3)
2+1,
解得:a=-1,
∴拋物線的解析式為y=-(x-3)
2+1或y=-x
2+6x-8;
方法二:∵拋物線過點B(0,-8),
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=ax
2+bx-8,
由題意可得:
,
∴a=-1,b=6,
∴拋物線的解析式為y=-x
2+6x-8;
(3)令-x
2+6x-8=0,得x
1=2,x
2=4,
∴D(2,0),E(4,0),
設(shè)P(x,y),
則S
△PDE=
•DE•|y|=
×2|y|=|y|,
S
△ABC=S
△BCM+S
△ACM=
•CM•(3+3)=
×5×6=15,
若存在這樣的點P,則有|y|=
×15=3,
從而y=±3,
當(dāng)y=3時,-x
2+6x-8=3,
整理得:x
2-6x+11=0,
∵△=(-6)
2-4×11<0,
∴此方程無實數(shù)根;
當(dāng)y=-3時,-x
2+6x-8=-3,
整理得:x
2-6x+5=0,
解得:x
1=1,x
2=5,
∴這樣的P點存在,且有兩個這樣的點:P
1(1,-3),P
2(5,-3).
分析:(1)已知了A、B兩點的坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式.
(2)已知了A、B的坐標(biāo),M是線段AB的中點,不難得出M點的坐標(biāo)和圓的半徑,據(jù)此可求出C點的坐標(biāo).然后用頂點式二次函數(shù)解析式設(shè)拋物線,將B點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值.也就得出了拋物線的解析式.
(3)先求出三角形ABC的面積(可將三角形ABC分成三角形AMC和三角形BMC兩部分來求).然后根據(jù)三角形ABC與三角形PDE的面積比求出三角形PDE的面積.由于三角形PDE中,DE的長是定值,因此可求出P點的縱坐標(biāo)的絕對值,將其代入拋物線的解析式中即可求出P點坐標(biāo).
點評:本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點、圖形面積的求法等知識點.綜合性較強(qiáng),難度適中.