Question

4．?dāng)?shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)為a，B點(diǎn)表示的數(shù)為b，且a、b滿(mǎn)足|a+3|+|b+3a|=0
（1）求a、b的值
（2）點(diǎn)P從A點(diǎn)以3個(gè)單位/秒向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從B點(diǎn)以2個(gè)單位/秒向左運(yùn)動(dòng)．若|PA|+|PB|=2|PQ|，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t
（3）在數(shù)軸上，點(diǎn)C、點(diǎn)T、點(diǎn)D分別表示的數(shù)是-8、10、11，點(diǎn)A、點(diǎn)C均以2個(gè)單位/秒速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|是否存在最小值？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出最小值，并求出最小值的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值或取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由絕對(duì)值的非負(fù)性即可得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）找出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P、Q對(duì)應(yīng)的數(shù)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出PQ、PQ、PB的長(zhǎng)度，結(jié)合|PA|+|PB|=2|PQ|即可得出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，找出運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的數(shù)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式找出|TA|、|TC|、|TB|、|TD|的值，分t＜6.5、6.5≤t≤9和t＞9三種情況考慮|TA|+|TC|+|TB|+|TD|的值，此題得解．

解答 解：（1）∵|a+3|+|b+3a|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+3=0}\\{b+3a=0}\end{array}\right.$，
∴a=-3，b=9．
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒時(shí)，P所對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3+3t，Q所對(duì)應(yīng)的數(shù)為9-2t，
∴PQ=|-3+3t-（9-2t）|=|5t-12|，PA=3t，PB=|-3+3t-9|=|3t-12|．
∵|PA|+|PB|=2|PQ|，
∴3t+|3t-12|=2|5t-12|，
解得：t=1.2或t=3.6或t=3（舍去）．
∴若|PA|+|PB|=2|PQ|，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為1.2秒或3.6秒．
（3）假設(shè)存在，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t-3，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t-8，
∵點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的是為9，點(diǎn)T對(duì)應(yīng)的數(shù)為10，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)為11，
∴|TA|=|2t-3-10|=|2t-13|，|TC|=|2t-8-10|=|2t-18|，|TB|=|10-9|=1，|TD|=|10-11|=1，
∴|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=|2t-13|+|2t-18|+2．
當(dāng)2t-13＜0，即t＜6.5時(shí)，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=13-2t+18-2t+2=33-4t＞33-26=7；
當(dāng)0≤2t-13，2t-18≤0，即6.5≤t≤9時(shí)，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=2t-13+18-2t+2=7；
當(dāng)2t-18＞0，即t＞9時(shí)，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=2t-13+2t-18+2=4t-29＞36-29=7．
∴假設(shè)成立，
∴當(dāng)6.5≤t≤9時(shí)，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|取最小值7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸、解二元一次方程組以及絕對(duì)值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性找出關(guān)于a、b的二元一次方程組；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合|PA|+|PB|=2|PQ|列出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程；（3）分t＜6.5、6.5≤t≤9和t＞9三種情況考慮．