Question

在△ABC中，∠A=90°，AC=8cm，sin∠ABC=，點D是邊AB上的一動點，過點D作DE∥BC，交邊AC于點E

（1）如圖（1），當(dāng)AD=2BD時，求△ADE的面積；
（2）點D在運動過程中，如果△ADE的周長與四邊形DBCF的周長相等，求AD的長；
（3）將四邊形BCED沿DE向上翻折，得四邊形MDEN，HF與邊AB、AC分別交于點M、N（如圖2所示），如設(shè)四邊形MDEN的面積為y，AD的長為x，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，∠A=90°，AC=8，sin∠ABC=，
∴sin∠ABC==，解得BC=10，AB=6，
∵AD=2BD，DE∥BC，
∴==2，解得AD=4，AE=，
∴△ADE的面積為×4×=cm²；

（2）∵△ADE的周長與四邊形DBCE的周長相等，
∴AD+DE+AE=DB+BC+CE+DE，即AD+AE=DB+BC+CE，
設(shè)AD的長為x，由（1）可知，AE=x，DB=6-x，EC=8-x，
∴x+x=6-x+10+8-x，解得：x=cm，
∴AD的長為cm；

（3）∵四邊形BCED沿DE向上翻折，
∴∠HDE=∠BDE，∠H=∠B，HD=BD，
∵DE∥BC，
∴∠B+∠BDE=180°，
∴∠H+∠HDE=180°，
∴DE∥HF∥BC，
∴∠B=∠HMD，
∴∠H=∠HMD，
∴HD=BD=MD，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）²，
同理=（）²，
AM=2x-6 S_△AMN=24，
∴y=x²-（2x-6）²=-2x²+16x-24（3＜x＜6）
分析：（1）利用∠A的正弦值求得BC和AB的長，然后利用相似三角形求得AD和AE的長，最后求面積即可；
（2）根據(jù)△ADE的周長與四邊形DBCE的周長相等，得到AD+DE+AE=DB+BC+CE+DE，即AD+AE=DB+BC+CE，設(shè)AD的長為x，并由此得到方程x+x=6-x+10+8-x，求得x即可；（3）根據(jù)四邊形BCED沿DE向上翻折，利用翻折對稱性得到∠HDG=∠BDG，∠H=∠B，HD=BD，證得ADE∽△ABC，利用面積的比等于相似比的平方即可確定函數(shù)的解析式．
點評：本題考查了折疊問題、相似三角形的判定及性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，難度較大．