Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D是AC邊上一點，AD=10，DC=8．以AD為直徑的⊙O與邊BC切于點E，且AB=BE

（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）過D點作DF∥BC交⊙O于點F，求線段DF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，連接OB、OE．

在△ABO和△EBO中，

∵ ，

∴△ABO≌△EBO（SSS），

∴∠BAO=∠BEO（全等三角形的對應角相等）；

又∵BE是⊙O的切線，

∴OE⊥BC，

∴∠BEO=90°，

∴∠BAO=90°，即AB⊥AD，

∴AB是⊙O的切線；

（2）

解：

∵AD=10，DC=8，

∴OC=13，OE=5，

∴在直角△OEC中，根據勾股定理知，EC=12．

設DF交OE于點G．

∵DF∥BC（已知），

∴∠OGD=∠OEC=90°（兩直線平行，同位角相等），

∴OG⊥DF，

∴FD=2DG（垂徑定理）；

∵DF∥BC，

∴ ，即 ，

∴DG= ，

∴DF= ．

【解析】（1）欲證AB是⊙O的切線，只需證明證得AB⊥AD即可；（2）根據垂徑定理推知DF=2DG；然后根據平行線截線段成比例證得 = ，即 = ，由此可以求得DF的長度．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和垂徑定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能得出正確答案．