Question

【題目】拼圖是一種研究代數(shù)恒等式的重要方法，所謂的拼圖指的是把所給的圖形以不同的方式拼成不同形狀的圖形，把圖形面積用不同的代數(shù)式表示，由于拼圖前后的面積相等，從而相應(yīng)的代數(shù)式的值也相等，進(jìn)而得到代數(shù)恒等式.

（1）智慧學(xué)習(xí)小組探索了用4個如圖1所示的全等的長方形（長、寬分別為a、b）拼成不同的圖形．在研究過程中，他們用這4個長方形拼成了一個如圖2所示的“回形”正方形．拼圖前后，請寫出該小組所用圖形（4個長方形）的面積的計算方法：拼圖前： ；拼圖后： ；因為拼圖前后的面積不變，所以可得代數(shù)恒等式： .

（2）利用（1）中得到的恒等式，解決下面的問題：已知求xy的值．

（3）超人學(xué)習(xí)小組受智慧學(xué)習(xí)小組的啟發(fā)，用4個如圖3所示的全等的直角三角形（三邊長分別為a、b、c）拼成了兩種“中空”的正方形.請你畫出這兩種圖形：

由上面的圖形可得代數(shù)恒等式： .

（4）利用（3）中得到的代數(shù)恒等式，解決下面的問題：在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8，求AC的長.

Answer 1

【答案】（1）4ab，(a+b)2 - (a-b)2，4ab = (a+b)2 - (a-b)2 ；

（2）；

（3）畫圖見解析，

（4）AC= 10

【解析】（1）通過觀察可以得大正方形邊長為a+b，小正方形邊長為a-b，利用大正方形面積減去小正方形面積即為陰影部分的面積，得出答案；（2）由（1）的結(jié)論變形后即可得出xy的值；（3）通過兩個組合正方形的面積之間相等的關(guān)系即可證明勾股定理；（4）根據(jù)勾股定理：在如何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方，即BC2=AC2+AB2，結(jié)合BC=10，AB=6，可求出另一條直角邊AC的長度.

解：（1）拼圖前：4ab

拼圖后：(a+b)2 - (a-b)2

觀察圖形得：

大正方形邊長為：a+b，

小正方形邊長為：a-b，

根據(jù)大正方形面積-小正方形面積=陰影部分面積得：

4ab=（a+b）2-（a-b）2.

可得代數(shù)恒等式： 4ab = (a+b)2 - (a-b)2

故答案為：4ab = (a+b)2 - (a-b)2.

“點睛”本題考查了完全平方公式的幾何背景，學(xué)生需要掌握完全平方公式和幾何圖形的關(guān)系即可，題目整體涉及很好，可以考查學(xué)生的觀察能力.

（2）由（1）可得，4ab = (a+b)2 - (a-b)2，

∴ 4xy = (x+y)2 - (x-y)2

∴

又∵ ，

∴ ，

∴.

（3）如圖所示，

解：選用（1）.

證明：∵S大正方形=c2

S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b-a）2，

∴c2=4×ab+（b-a）2-c2=a2+b2；

選用（2）：

證明：圖中把大正方形的面積分了四分部，分別是：邊長為a的正方形，邊長為b的正方形，還有兩個長為b，寬為a的長方形.

∵根據(jù)面積相等得：（a+b）2=c2+b2+4×ab，

由右圖可得（a+b）2=c2+4×ab，

∴a2+b2+4×ab=c2+4×ab，

∴a2+b2=c2.

（4）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∴ ，

又∵ AB=6，BC=8，

∴ .

∴ AC= 10.

“點睛”本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長關(guān)系進(jìn)行組合圖形.像這類直接考查定義的題目，解答的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式.