Question

解決一下問題：
（1）如圖1，在半徑為2的⊙O中，∠AOB=60°，則△AOB面積S_△AOB=

 

 （2）如圖2，在半徑為R的⊙O中，弦AB在⊙0上，球：△AOB面積S_△AOB的最大值．
 （3）如圖3，在半徑為3的⊙O中，M的坐標為（3，0），點A、B為半圓上兩動點（A在B的左邊）且弦AB長為3

2

，AD⊥OE，BC⊥OE，垂足分別為D，C，求四邊形ABCD面積的最大值．
（4）如圖4，四分之一圓O的半徑為R，點B為圓弧上的任意一點，矩形ABCD內接于四分之一圓，求：矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

考點：圓的綜合題,完全平方公式,垂線段最短,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質,勾股定理,勾股定理的逆定理,矩形的判定與性質,垂徑定理

專題：綜合題

分析：（1）過點O作OH⊥AB于點H，易證△OAB是等邊三角形，只需求出AB及OH的值，就可解決問題；
（2）過點B作BG⊥AO，交AO的延長線于點G，如圖2，根據(jù)垂線段最短可得BG≤BO，從而可求出△AOB面積的最大值；
（3）過點A作AQ⊥BC于點Q，易證四邊形ADCQ是矩形，則有DC=AQ，根據(jù)垂線段最短可得DC=AQ≤AB．易證△ADM≌△MCB，則有AD=MC，DM=CB，由此可得S_{四邊形ABCD}=

1

2

DC²，從而可求出四邊形ABCD面積的最大值；
（4）連接OB，易得OC²+BC²=OB²=R²，根據(jù)完全平方公式（OC-BC）²=OC²+BC²-2OC•BC可得S_矩形ABCD=OC•BC=

1

2

{R²-（OC-BC）²}，從而可求出矩形ABCD面積的最大值．

解答：解：（1）過點O作OH⊥AB于點H，如圖1，
根據(jù)垂徑定理可得AH=BH=

1

2

AB．
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB=OA=2，
∴AH=1，OH=

OA2-AH2

=

3

，
∴S_△AOB=

1

2

AB•OH=

1

2

×2×

3

=

3

．
故答案為：

3

；

（2）過點B作BG⊥AO，交AO的延長線于點G，如圖2，
則有BG≤BO，
∴S_△AOB=

1

2

AO•BG≤

1

2

AO•BO，即S_△AOB≤

1

2

R²，
∴當∠AOB=90°時，△AOB的面積取到最大值，為

1

2

R²；

（3）過點A作AQ⊥BC于點Q，如圖3，
∵AD⊥OE，BC⊥OE，AQ⊥BC，
∴∠ADC=∠DCQ=∠AQC=90°，
∴四邊形ADCQ是矩形，
∴DC=AQ，
∵AQ≤AB，AB=3

2

，
∴DC≤3

2

．
∵MA=MB=3，AB=3

2

，
∴MA²+MB²=AB²，
∴∠AMB=90°，
∴∠DMA+∠CMB=90°．
∵∠DAM+∠DMA=90°，
∴∠DAM=∠CMB．
在△ADM和△MCB中，

∠DAM=∠CMB ∠ADM=∠MCB AM=MB

，
∴△ADM≌△MCB（AAS），
∴AD=MC，DM=CB，
∴AD+BC=MC+DM═DC，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

（AD+BC）•DC=

1

2

DC²≤

1

2

×18=9，
∴當四邊形ABCD是矩形時，面積取到最大值，為9；

（4）連接OB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠OCB=90°，
∴OC²+BC²=OB²=R²，
∴（OC-BC）²=OC²+BC²-2OC•BC=R²-2OC•BC，
∴S_矩形ABCD=OC•BC=

1

2

{R²-（OC-BC）²}
∴當OC=BC時，矩形ABCD的面積取到最大值，為

1

2

R²．

點評：本題是有關三角形或四邊形面積的最大值的問題，涉及到垂徑定理、等邊三角形的判定與性質、勾股定理及其逆定理、垂線段最短、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、完全平方公式等知識點，涵蓋的知識面比較廣，是考查基礎知識和基本能力的一道好題．