Question

如圖，已知點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線上．

 (1)　求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

 (2)　平移拋物線，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

①　當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，A′C+CB′ 最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；

②　當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：(1) 將點(diǎn)A(-4，8)的坐標(biāo)代入，解得．

將點(diǎn)B(2，n)的坐標(biāo)代入，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，

則點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-2)．

直線AP的解析式是．  

令y=0，得．即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(，0)．

(2)①　解法1：CQ=-2-=，

故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)，A′C+CB′最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為

解法2：設(shè)將拋物線向左平移m個(gè)單位，則平移后A′，B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，點(diǎn)A′關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-m，-8)．

直線A′′B′的解析式為．  要使A′C+CB′最短，點(diǎn)C應(yīng)在直線A′′B′上，

將點(diǎn)C(-2，0)代入直線A′′B′的解析式，解得．

故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)A′C+CB′最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為．

②　左右平移拋物線，因?yàn)榫�段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短．

第二種情況：設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

因?yàn)?i>CD=2，因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′(-b，2)，

要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．

點(diǎn)A′關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-b，-8)，

直線A′′B′′的解析式為．要使A′D+DB′′最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線A′′B′′上，將點(diǎn)D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，解得．

故將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為．