Question

如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，圓的半徑為1，直線l的解析式為y=x+t．若直線l與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則t的取值范圍是

 

；若直線l與半圓有交點(diǎn)，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：若直線與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則有兩種情況：直線和半圓相切于點(diǎn)C或從直線過點(diǎn)A開始到直線過點(diǎn)B結(jié)束（不包括直線過點(diǎn)A）．
直線過點(diǎn)B．
當(dāng)直線和半圓相切于點(diǎn)C時(shí)，根據(jù)直線的解析式知直線與x軸所形成的銳角是45°，從而求得DOC=45°，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得t的值；當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，直接根據(jù)待定系數(shù)法求得t的值．
若直線L與半圓有交點(diǎn)，則直線從和半圓相切于點(diǎn)C開始到直線過點(diǎn)B結(jié)束（包括上述兩種情況）．

解答：
解：若直線與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則有兩種情況：直線和半圓相切于點(diǎn)C或從直線過點(diǎn)A開始到直線過點(diǎn)B結(jié)束（不包括直線過點(diǎn)A）．
直線y=x+t與x軸所形成的銳角是45°．
當(dāng)直線和半圓相切于點(diǎn)C時(shí)，則OC垂直于直線，∠COD=45°．
又OC=1，則CD=OD=

2

2

，即點(diǎn)C（-

2

2

，

2

2

）．
把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線解析式，得
t=y-x=

2

；
當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，把點(diǎn)A（-1，0）代入直線解析式，得t=y-x=1．
當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，把點(diǎn)B（1，0）代入直線解析式，得t=y-x=-1．
即t=

2

或-1≤t≤1時(shí)，直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；
若直線和圓有公共點(diǎn)，則-1≤t≤

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了直線和圓的位置關(guān)系，及用待定系數(shù)法求解直線的解析式等方法．