Question

如圖，已知拋物線y=-x²+mx+3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（3，0）．
（1）你一定能分別求出這條拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B及與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，試試看；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，請?jiān)趫D中畫出拋物線的草圖．若點(diǎn)E（-2，n）在直線BC上，試判斷E點(diǎn)是否在經(jīng)過D點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象上，把你的判斷過程寫出來；
（3）請?jiān)O(shè)法求出tan∠DAC的值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)锳（3，0）在拋物線y=-x²+mx+3上，
則-9+3m+3=0，解得m=2．
所以拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
因?yàn)锽點(diǎn)為拋物線與x軸的交點(diǎn)，求得B（-1，0），
因?yàn)镃點(diǎn)為拋物線與y軸的交點(diǎn)，求得C（0，3）．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D（1，4），
畫這個(gè)函數(shù)的草圖．
由B，C點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=3x+3，
∵點(diǎn)E（-2，n）在y=3x+3上，
∴E（-2，-3）．
可求得過D點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式為y=．
當(dāng)x=-2時(shí)，y==-2≠-3．
∴點(diǎn)E不在過D點(diǎn)的反比例函數(shù)圖象上．

（3）過D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則△CFD為等腰直角三角形，且CD=．
連接AC，則△AOC為等腰直角三角形，且AC=3．
因?yàn)椤螦CD=180°-45°-45°=90°，
∴Rt△ADC中，tan∠DAC=．
另解：∵Rt△CFD∽Rt△COA，
∴．
∵∠ACD=90°，
∴tan∠DAC=．
分析：（1）把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可以求出m的值，得到拋物線的解析式．在解析式中令y=0，解方程就可以求出與x軸的交點(diǎn)．
（2）根據(jù)函數(shù)解析式就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式．
經(jīng)過C，B的直線解析式可以用待定系數(shù)法求得，進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．把E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，就可以判斷是否在反比例函數(shù)的圖象上．
（3）過D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則△CFD為等腰直角三角形，△AOC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理就可以求出CD，AC的長度．Rt△ADC中中根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求出三角函數(shù)值．
點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法．