Question

以x為自變量的二次函數(shù)y=-x²+2x+m，它的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，在位于x軸上方部分的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似（不包含全等）？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)，可確定m的值，從而得到拋物線的解析式，令函數(shù)解析式的y=0，即可求得A、B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，顯然∠PAQ不能是直角，已知以A，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似但不全等，因此P、C不重合，即∠PAQ≠∠CAO，所以只考慮∠PAQ=∠ACO的情況，過(guò)A作∠PAQ=∠ACQ，交拋物線于點(diǎn)P，然后分兩種情況：
①∠PQA=∠COA=90°，此時(shí)PQ⊥x軸，可設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的比例線段求出點(diǎn)Q、P的坐標(biāo)；
②∠APQ=∠COA=90°，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后表示出PA的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的比例線段即可求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，把點(diǎn)C（0，3）代入y=-x²+2x+m，
解得m=3，
即二次根式的解析式為y=-x²+2x+3，
即-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（-1，0），（3，0）．

（2）假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)P、Q，一定是∠PAQ=∠ACO；
∵若PAQ=∠CAO，則點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，
∴△PAQ≌△CAO，不合題意；
∵若∠PAQ=∠COA=90°，顯然P不在拋物線上，
過(guò)A作AP，使∠PAO=∠ACO且與拋物線交于點(diǎn)P，
①若過(guò)點(diǎn)P作PQ₁⊥x軸交x軸于Q₁點(diǎn)，
設(shè)Q1（x₁，0），P（x₁，y₁），
∵∠CQ₁A=∠AOC，則△PQ₁A∽△AOC，
∴

AQ1

OC

=

Q1P

AO

，
即

x1+1

3

=-x12+2x1+3，
解得x₁=

8

3

，代入拋物線的解析式中，
得y₁=

11

9

，
∴Q₁（

8

3

，0)，P（

8

3

，

11

9

)，存在△PQ₁A∽△AOC；
②由①所得點(diǎn)P作PQ₂⊥AP交x軸于Q₂，
設(shè)Q₂（x₂，0）；
∵∠APQ₂∠COA，則△Q₂PA∽△AOC，
∴

AQ2

CA

=

PA

OC

，

x2+1

10

=

( 8 3 +1)2+( 11 9 )2

3

，x2=

83

27

．
∴Q₂（

83

27

，0），存在△PQ₂A∽△AOC；
綜上所述，存在符合條件的相似三角形，且Q、P的坐標(biāo)為：Q₁（

8

3

，0)，Q₂（

83

27

，0），P（

8

3

，

11

9

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．（3）題中，應(yīng)根據(jù)相似三角形的不同對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分類討論，這是此題的難點(diǎn)．