Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4）、（-4，0）、（0，-4），點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，=，∠EMF在AB的下方以M為中心旋轉(zhuǎn)且∠EMF=45°，ME交y軸于點(diǎn)P，MF交x軸于點(diǎn)Q．設(shè)AQ的長(zhǎng)為m（m＞0），BP的長(zhǎng)為n．試回答下列問(wèn)題：
（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA于N，可得△AMN和△ABO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AN、MN，再求出ON，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ABO=∠BAO=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BPM+∠BMP=135°，根據(jù)平角的定義求出∠BMP+∠AMQ=135°，然后求出∠BPM=∠AMQ，然后求出△BPM和△AMQ相似，利用勾股定理求出AM，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出mn=6，再分①AM=MQ時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出m的值，再求出n的值，從而求出OP，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，②AM=AQ時(shí)，先求出得到m的值，再求出n的值，然后求出OP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，③MQ=AQ時(shí)，求出m的值，再求出n的值，然后OP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分點(diǎn)Q在x正半軸、負(fù)半軸以及點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上三種情況，根據(jù)三角形的面積列出方程求出m、n的值，再根據(jù)點(diǎn)P、Q的位置作出判斷解答即可．
解答：解：（1）∵=，
∴=，
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA于N，
則△AMN∽△ABO，
∴==，
即==，
解得AN=MN=1，
∴ON=OA-AN=4-1=3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，1）；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
在△BPM中，∠BPM+∠BMP=180°-45°=135°，
∵∠EMF=45°，
∴∠BMP+∠AMQ=180°-45°=135°，
∴∠BPM=∠AMQ，
∴△BPM∽△AMQ，
∴=，
根據(jù)勾股定理，AM==，BM=3AM=3，
∴=，
∴mn=6，
①AM=MQ時(shí)，m=2AQ=2，
∴n=6÷2=3，
∴OP=4-3=1，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）；
②AM=AQ時(shí)，m=，
n=6÷=3，
OP=4-3，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4-3）；
③MQ=AQ時(shí)，△AMQ是等腰直角三角形，m=AN=1，
∴n=6÷1=6，
OP=4-6=-2，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）、（0，4-3）、（0，-2）時(shí)，以A、Q、M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形；
故答案為：（1）（3，1）；（2）（0，1）、（0，4-3）、（0，-2）；


（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△BPM∽△AMQ，mn=6，
①如圖1，點(diǎn)Q在x正半軸上時(shí)，S=（4-n）×3+（4-m）×1=2，
整理得，m+3n=12，
聯(lián)立，
解得，（m＞4，舍去），
此時(shí)，n=2+；
②如圖2，點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸上時(shí)，S=（4-n）×3+（4-n）（m-4）=2，
整理得，n+4m=14，
聯(lián)立，
解得，，
∵m＜4，點(diǎn)Q在x正半軸上，
∴都不符合題意，舍去；
③如圖3，點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上時(shí)，S=（4-m）×1+（4-m）（n-4）=2，
整理得，3m+4n=22，
聯(lián)立，
解得（n＜4，舍去），，
此時(shí)，n=，
綜上所述，n的值為2+或時(shí)，以Q、M、P、O為頂點(diǎn)的四邊形的面積會(huì)等于2．
點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解二元二次方程，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（2）（3）兩題要注意分情況討論．