Question

【題目】已知拋物線（是常數(shù)）的頂點為，直線

求證：點在直線上；

當(dāng)時，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，與直線的另一個交點為，是軸下方拋物線上的一點，（如圖），求點的坐標(biāo)；

若以拋物線和直線的兩個交點及坐標(biāo)原點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點的坐標(biāo)為；（3）的值為，，，，．

【解析】

（1）利用配方法得到，點，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征判斷點在直線上；

（2）當(dāng)時，拋物線解析式為，根據(jù)拋物線與軸的交點問題求出，易得，通過解方程組，得，，作軸于，軸于，軸于，如圖，證明，利用相似得，設(shè)，則，得（舍去），，于是得到點的坐標(biāo)為；

（3）通過解方程組得，，利用兩點間的距離公式得到，，然后分類討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，再分別解關(guān)于的方程求出即可.

證明：∵，

∴點的坐標(biāo)為，

∵當(dāng)時，，

∴點在直線上；

解：當(dāng)時，拋物線解析式為，

當(dāng)時，，解得，，則，

當(dāng)時，，則，

可得解方程組，解得或，

則，，

作軸于，軸于，軸于，如圖，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，

∴，，

∴，

整理得，解得（舍去），，

∴點的坐標(biāo)為；

解：解方程組得或，則，，

∴，，，

當(dāng)時，，解得，；

當(dāng)時，，解得，；

當(dāng)時，，解得，

綜上所述，的值為，，，，．