Question

【題目】根據題意解答
（1）【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ABE和ADF，連結ED與FC交于點M，則圖中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC= ．
（2）【拓展應用】如圖②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外側，作兩個等邊三角形ABE和ADF，連結ED與FC交于點M．
（i）求證：ED=FC．
（ii）若∠ADE=20°，求∠DMC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）90°
（2）（i）證明：∵△ABE為等邊三角形，

∴∠EAB=60°，EA=AB．

∵△ADF為等邊三角形，

∴∠FDA=60°，AD=FD．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB．

∴EA=DC．

∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°，

∴∠EAD=∠CDF．

在△EAD和△CDF中，

，

∴△EAD≌△CDF．

∴ED=FC

（ii）∵△EAD≌△CDF，

∴∠ADE=∠DFC=20°，

∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°

【解析】解：如圖①中，∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=AB=CD，∠ADC=90°，
∵△ADE≌△DFC，
∴DF=CD=AE=AD，
∵∠FDC=60°+90°=150°，
∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，
∴∠FDE=60°+15°=75°，
∴∠MFD+∠FDM=90°，
∴∠FMD=90°，
所以答案是90°
【考點精析】關于本題考查的矩形的性質和正方形的性質，需要了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．