分析 (1)連接OB,根據切線的性質和垂直的定義得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根據等腰三角形的判定推出即可;
(2)延長AP交⊙O于D,連接BD,設圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r,根據AB=AC推出52-r2=(2$\sqrt{5}$)2-(5-r)2,求出r,證△DPB∽△CPA,得出關于BP的比例式,代入求出即可.
解答 解:(1)AB=AC,理由如下:
連接OB.
∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)延長AP交⊙O于D,連接BD,
設圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r,
則AB2=OA2-OB2=52-r2,
AC2=PC2-PA2=(2$\sqrt{5}$)2-(5-r)2,
∴52-r2=(2$\sqrt{5}$)2-(5-r)2,
解得:r=3,
∴AB=AC=4,
∵PD是直徑,
∴∠PBD=90°=∠PAC,
又∵∠DPB=∠CPA,
∴△DPB∽△CPA,
∴$\frac{CP}{PD}=\frac{AP}{BP}$,
∴$\frac{2\sqrt{5}}{3+3}=\frac{5-3}{BP}$,
∴BP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
答:圓的半徑是3,線段PB的長為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
點評 本題考查了等腰三角形的性質和判定,相似三角形的性質和判定,切線的性質,勾股定理,直線與圓的位置關系等知識點的應用,主要培養(yǎng)學生運用性質進行推理和計算的能力.本題綜合性比較強,有一定的難度.
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A. | x≥0 | B. | x≥-$\frac{1}{2}$ | C. | x>-$\frac{1}{2}$ | D. | x≤-$\frac{1}{2}$ |
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