Question

如圖所示，⊙M交兩坐標(biāo)軸于點(diǎn)A、B、C、D，已知A（6，0）、B（0，3）、C（-2，0）．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求圓心M的坐標(biāo)；
（3）若MN⊥AD于N，求證：MN=BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先得出△BCO∽△AOD，再利用相似三角形的性質(zhì)得出OD的長(zhǎng)，即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先利用垂徑定理得出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出OP、QD的長(zhǎng)，即可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）利用勾股定理分別得出BC，AM，AD，MN的長(zhǎng)，即可得出MN與BC的關(guān)系．
解答：（1）解：∵∠BOC=∠AOD=90°，∠CBO=∠OAD，
∴△BCO∽△AOD．
∴即，
∴OD=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，-4）；

（2）解：作MP⊥x軸于P，MQ⊥y軸于Q，
∵AC=CO+OA=8，
∴AP=AC=4，
∴OP=MQ=OA-AP=2，
∵BD=BO+OD=7，
∴QD=BD=，
∴OQ=PM=OD-QD=，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，-）；

（3）證明：連接AM
在Rt△BOC中，BC=，
在Rt△APM中，AM=，
在Rt△AOD中，AD=，
則AN=AD=，
在Rt△AMN中，MN=．
故MN=BC．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定和勾股定理的應(yīng)用和垂徑定理等知識(shí)，根據(jù)垂徑定理得出OQ，OP的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．