(1)已知:如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點D、E在斜邊AB上,且∠DCE=45度.求證:線段DE、AD、EB總能構(gòu)成一個直角三角形;
(2)已知:如圖2,等邊三角形ABC中,點D、E在邊AB上,且∠DCE=30°,請你找出一個條件精英家教網(wǎng),使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形,并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù);
(3)在(1)的條件下,如果AB=10,求BD•AE的值.
分析:(1)可通過構(gòu)建全等三角形將所求的三條線段轉(zhuǎn)換到同一個三角形中,然后證明那個三角形是直角三角形即可.可以CE為一邊作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,連接DF、EF,那么我們可得出△CFE≌△CBE,于是EF=BE,然后我們再設(shè)法求得AD=DF,就能將三條線段轉(zhuǎn)換到同一三角形中了.要證明AD=DF就要證明三角形DCF和DCA全等.這兩個三角形中已知的條件AC=BC=CF,又有一條公共邊只要證得兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可.∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°,那么∠DCA+∠ECB=45°,因此∠DCF=∠DCA這樣就構(gòu)成了三角形全等的條件,那么兩三角形全等,AD=DF,根據(jù)上面兩組全等三角形,我們可得出∠1+∠2=∠A+∠B=90°,因此三角形DEF是個直角三角形,那么也就得出AD、DE、BE總能構(gòu)成一個直角三角形了.
(2)解題思路和輔助線作法與(1)完全相同,只不過得出AD=DF,EF=BE后,要使三角形DEF是個等腰三角形就要讓DE=EF,即AD=BE,那么這個條件就是AD=BE.
(3)本題可通過相似三角形得出線段的比例來求得.∠AEB=45°+∠BCE=∠BCD,∠A=∠B=45°,我們可得出AE:BC=AC:BD,即BD•AE=AC•BC=AC2,直角三角形ACB中,我們知道AC2+BC2=AB2,即AC2=50,那么BD•AE=50.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:如圖1,∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠B=45°.
以CE為一邊作∠ECF=∠ECB,在CF上
截取CF=CB,則CF=CB=AC.
連接DF、EF,則△CFE≌△CBE.
∴FE=BE,∠1=∠B=45°.
∵∠DCE=∠ECF+∠DCF=45°,
∴∠DCA+∠ECB=45°.
∴∠DCF=∠DCA.
又∵AC=CF,CD=CD
∴△DCF≌△DCA.
∴∠2=∠A=45°,DF=AD.
∴∠DFE=∠2+∠1=90°.
∴△DFE是直角三角形.
又AD=DF,EB=EF,
∴線段DE、AD、EB總能構(gòu)成一個直角三角形.

(2)解:當(dāng)AD=BE時,線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形.精英家教網(wǎng)
如圖2,與(1)類似,以CE為一邊,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,
可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA.
∴AD=DF,EF=BE.
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°.
若使△DFE為等腰三角形,只需DF=EF,即AD=BE.
∴當(dāng)AD=BE時,線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個等腰三角形.
且頂角∠DFE為120°.

(3)解:如圖1,
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠CDB=∠ACD+∠A.
又∠DCE=∠A=45°,
∴∠ACE=∠CDB.
又∠A=∠B,
∴△ACE∽△BDC.
AE
BC
=
AC
BD

∴BD•AE=AC•BC.
∵Rt△ACB中,由AC2+BC2=AB2=102,得AC2=BC2=50.
∴BD•AE=AC•BC=AC2=50.
點評:本題中利用全等或相似三角形來得出角相等,線段相等或成比例是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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3
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π

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(Ⅰ)求BC、AP1的長;
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已知:如圖,拋物線y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
的圖象與x軸分別交于A,B兩點,與y軸交精英家教網(wǎng)于C點,⊙M經(jīng)過原點O及點A、C,點D是劣弧
OA
上一動點(D點與A、O不重合).
(1)求拋物線的頂點E的坐標(biāo);
(2)求⊙M的面積;
(3)連CD交AO于點F,延長CD至G,使FG=2,試探究,當(dāng)點D運(yùn)動到何處時,直線GA與⊙M相切,并請說明理由.

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