如圖,菱形ABCD中,點E、M在AD上,且CD=CM,點F為AB上的點,且∠ECF=
1
2
∠B.
(1)若菱形ABCD的周長為8,且∠D=67.5°,求△MCD的面積;
(2)求證:BF=EF-EM.
考點:菱形的性質,全等三角形的判定與性質
專題:壓軸題
分析:(1)首先過點D作DH⊥MC于點H,由菱形ABCD的周長為8,且∠D=67.5°,易求得∠2=∠D=67.5°,∠DCH=45°,CM=2,然后由勾股定理求得DH的長,繼而求得△MCD的面積;
(2)首先延長AB到N,使BN=EM,連接CN,易證得△BNC≌△MEC(SAS),繼而證得△NCF≌△ECF(SAS),則可證得BF=EF-EM.
解答:解:(1)過點D作DH⊥MC于點H,
∵菱形ABCD的周長為8,
∴CD=2,
∵CD=CM,且∠D=67.5°,
∴∠2=∠D=67.5°,∠DCH=45°,CM=2,
在Rt△CDH中,DH=DC×sin45°=
2
,
∴S△MCD=
1
2
CM•DH=
1
2
×2×
2
=
2
;

(2)延長AB到N,使BN=EM,連接CN,
∵CD=CM,CD=CB,且∠ABC=∠D,
∴BC=CM,∠2=∠ABC,
∵∠1+∠ABC=∠2+∠5
∴∠1=∠5
在△BNC和△MEC中,
BN=ME
∠1=∠5
BC=CM
,
∴△BNC≌△MEC(SAS),
∴∠4=∠3,CE=NC,
∵AD∥BC,
∴∠2=∠BCM=∠ABC,
∵∠ECF=
1
2
∠ABC,
∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF,
在△NCF和△ECF中,
NC=EC
∠NCF=∠ECF
CF=CF

∴△NCF≌△ECF(SAS),
∴FN=EF,
EF=FB+NB=FB+EM,
∴FB=EF-EM.
點評:此題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結合思想的應用.
練習冊系列答案
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某校園內(nèi)有一人行道上鑲嵌著如圖①所示的水泥方磚,磚面上的小溝槽(如圖②)EA、HD、GC、FB分別是方磚TPQR四邊的中垂線,四邊形HEFG是正方形,現(xiàn)請你根據(jù)上述信息解答下列問題.

(1)方磚TPQR面上的圖案
 

A.是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形
B.是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形
C.是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形
D.既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形
(2)若要使方磚TPQR的面積是正方形HEFG面積的9倍,求當方磚邊長為24厘米時,小溝槽EA的長是多少.

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活動課上,同學們用等長的鐵絲制作正多邊形,有的同學圍成正五邊形,有的圍成正六邊形,有的圍成正八邊形(每次恰好用完鐵絲)…老師說:“正五邊形的邊長為(x2+17)cm,正六邊形的邊長為(x2+2x)cm,(其中x>0).”
你知道同學們手中的鐵絲多長嗎?

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下面四個圖形中關于∠1與∠2位置關系表述錯誤的是( 。
A、
互為對頂角
B、
互為鄰補角
C、
互為內(nèi)錯角
D、
互為同位角

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在等邊△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O,且OD∥AB,OE∥AC.
(1)求證:△ODE是等邊三角形.
(2)線段BD、DE、EC 三者有什么數(shù)量關系?寫出你的判斷過程.
(3)數(shù)學學習不但要能解決問題,還要善于提出問題.結合本題,在現(xiàn)有的圖形上,請?zhí)岢鰞蓚與“直角三角形”有關的問題.(只要提出問題,不需要解答)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,⊙O中,弦AB⊥AC,OE⊥AB,垂足為E,OF⊥AC,垂足為 F,若AB+AC=10,則四邊形OEAF的周長為( 。
A、10.B、9C、8D、7

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°AE⊥CD于E,DE=3,AE=4,對角線BD平分∠ADC.
(1)求梯形ABCD的面積;
(2)一動點P從D出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿折線DA---AB勻速運動,另一動點Q從E點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿EC勻速運動.P、Q同時出發(fā),當Q與C重合時,P、Q停止運動.設運動時間x秒(x>0).在整個運動過程中,設是否存在這樣時刻,直線PQ將梯形ABCD的面積平分?若存在,求出x值.
(3)如圖2,動點P從D出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿線段DA運動到A后,可沿線段AB運動,過P作PF∥AD交直線BC于G點,交直線DC于F點,在線段AB上是否存在H點,使得△FGH為等腰直角三角形?若存在,求出對應的BH的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

下列實數(shù)
22
7
,0.3,
π
3
,
3-8
(
3
)0
,
2
3
,0.1010010001…(相鄰兩個1之間依次增加一個0),其中無理數(shù)有(  )
A、1個B、2個C、3個D、4個

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如圖,四邊形ABCD的頂點都在坐標軸上,若AB∥CD,△ABD與△ACD的面積分別為3和6,若雙曲線y=
k
x
恰好經(jīng)過BC的中點E,則k的值為(  )
A、-2B、2C、-1D、1

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