Question

小杰和他的同學(xué)組成了“愛琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題： “已知正方形ABCD ，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG = FH” 經(jīng)過(guò)思考，大家給出了以下兩個(gè)方案：（甲）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN∥EG交CD于點(diǎn)N ；（乙）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N ； 小杰和他的同學(xué)順利地解決了該題后，大家琢磨著想改變問(wèn)題的條件，作更多的探索。 …… （1）對(duì)小杰遇到的問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)诩�、乙兩個(gè)方案中任選一個(gè)，加以證明（如圖8）；

（2）如果把條件中的“正方形”改為“長(zhǎng)方形”，并設(shè)AB =2，BC =3（如圖9），試探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，F(xiàn)H的長(zhǎng)為（如圖10），試求EG的長(zhǎng)度。

Answer 1

（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作 AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N 
                  
                   ∴AM=HF AN=EG
                   ∵正方形ABCD          ∴AB=AD ∠BAD=∠ADN=90°
                    ∵EG⊥FH 
                    ∴∠NAM=90° ∴∠BAM=∠DAN 
                   在△ABM和△ADN中 ∠BAM=∠DAN    AB=AD   ∠ABM=∠ADN
                 ∴△ABM≌△ADN         ∴ AM=AN  即EG=FH
 （2） 結(jié)論：EG：FH=3：2
           證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作 AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N 
                      
                      ∴AM=HF      AN=EG
                       ∵長(zhǎng)方形ABCD          ∴AB=AD ∠BAD=∠ADN=90°
                       ∵EG⊥FH                  ∴∠NAM=90° ∴∠BAM=∠DAN      
                        ∴△ABM∽△ADN            ∴
                        ∵AB=2 BC=AD=3           ∴
 (3) 解：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，
              ∵AB=1 AM=FH=
                  ∴在Rt△ABM中，
                 將△AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB
                   ∵ EF與FH的夾角為45° ∴ ∠MAN=45°
                    ∴∠DAN+∠MAB=45° 即∠PAM=∠MAN=45°     從而 △APM ≌ △ANM ∴PM=NM
                   設(shè)DN = x，則，
                   在Rt△CMN中，
                  
                  解得                 ∴