Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為射線BC上一動點，以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，求證：BC⊥CF；
（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BC延長線上時，請?zhí)骄烤�段CF，BC，CD之間的關(guān)系；
（3）如圖3，在（1）的條件下，若BC=2，CF交DE于點P，連接AP，求△ACP的面積的最大值．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=45°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠DAF=90°，AD=AF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠ABD=45°，然后求出∠BCF=90°，從而得證；
（2）同（1）求出△ABD和△ACF全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CF，從而得到BC+CD=CF；
（3）過點A作AG⊥BC于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AG、BG，設(shè)BD=x，表示出DG，再利用勾股定理列式表示出AD，然后根據(jù)S_△APC=S_△ACF-S_△APF列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
在正方形ADEF中，∠DAF=90°，AD=AF，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴BC⊥CF；

（2）∵∠BAD-∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF-∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
同（1）可得△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BC+CD=CF；

（3）如圖，過點A作AG⊥BC于G，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，
∴AG=BG=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
設(shè)BD=x，則DG=|x-1|，
在Rt△ADG中，AD=

AG2+DG2

=

12+|x-1|2

=

x2-2x+2

，
由（1）得，△ABD≌△ACF，
∴S_△APC=S_△ACF-S_△APF=S_△ABD-S_△APF，
=

1

2

x•1-

1

2

AF•AD，
=

1

2

x-

1

2

AD²，
=

1

2

x-

1

2

（x²-2x+2），
=-

1

2

（x²-3x+2），
=-

1

2

（x-

3

2

）²+

1

8

，
∵-

1

2

＜0，
∴當(dāng)x=

3

2

時，S有最大值

1

8

，
即BD=

3

2

時，△ACP的面積有最大值為

1

8

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問題，正方形的問題，往往都是通過作輔助線構(gòu)造出全等三角形求解，要熟練掌握并靈活運用，（3）表示出△APC的面積是難點，也是解題的關(guān)鍵．