Question

如圖，矩形OABC，A（5，0），C（0，3）．直線y=kx交折線A-B-C于點(diǎn)P，點(diǎn)A關(guān)于OP的對稱點(diǎn)A′
（1）當(dāng)A′恰好在CB邊上時，C A′=______，k=______
（2）k=______

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，連接OA′，AA′．設(shè)A′（x，3）．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及勾股定理求得CA′=4，然后結(jié)合A（5，0）求得AA′的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4.5，1.5），從而求得k的值；
（2）因?yàn)樵搾佄锞�經(jīng)過點(diǎn)O、A，故可設(shè)交點(diǎn)式函數(shù)解析式y(tǒng)=ax（x-5）（a＜0）．由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得A′的坐標(biāo)，結(jié)合軸對稱的性質(zhì)來求a的值；
（3）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等和對應(yīng)角相等、勾股定理以及正切函數(shù)的定義來求k的值．
（4）根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)圖形回答問題．
解答：解：（1）如圖1，連接OA′，AA′．設(shè)A′（x，3）（0＜x＜5）．
∵在矩形OABC中，A（5，0），C（0，3），
∴OA=5，OC=3．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線OP對稱，
∴OA′=OA=5，
∴在Rt△OCA′中，利用勾股定理知，CA′===4，
即C A′=4，
∴A′（4，3），
∴線段AA′的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4.5，1.5）在直線OP上，
∴k==．

（2）∵該拋物線經(jīng)過點(diǎn)O、A，
∴可設(shè)交點(diǎn)式函數(shù)解析式y(tǒng)=ax（x-5）（a＜0），即y=a（x-）²-a．
∵該拋物線以點(diǎn)A′為頂點(diǎn)，
∴A′（，-a）．
∴k_AA′==，線段AA′的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（，-a）．
又∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線OP對稱，
∴線段AA′的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（，-a）在直線OP上，
則，
解得，，
∴該拋物線的解析式是或；

（3）當(dāng)k=時，△A′EF≌△BPF．理由如下：
如圖2，設(shè)P（5，y）．∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線OP對稱，
∴△OAP≌△OA′P，
∴AP=A′P，OA=OA′=5．
∵△A′EF≌△BPF，
∴A′F=FB，A′E=BP，∠A′=∠B=90°，∠A′EF=∠BPF，
∴∠CEO=∠BPF，
∴，
解得，y=，則k==；

 （4）如圖3，最多有6個交點(diǎn)，k的取值范圍是：且．
當(dāng)0＜k＜時，有4個共同點(diǎn)
k=或時，有5個共同點(diǎn)；
k=時，有4個共同點(diǎn)．
故答案是：4，；；k=，或；6，且．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．注意，方程組的解法的應(yīng)用．