Question

已知：如圖，△ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s），解答下列問題：

（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形?

（2）設四邊形APQC的面積為y（cm²），求y與t的

關系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應的t值；不存在，說明理由；

（3）設PQ的長為x（cm），試確定y與x之間的關系式．

Answer 1

解：⑴ 根據(jù)題意：AP＝t cm，BQ＝t cm．

△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，

∴BP＝(3－t ) cm．

△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，

若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．

當∠BQP＝90°時，BQ＝BP．

即t＝(3－t )，

t＝1 (秒)．

當∠BPQ＝90°時，BP＝BQ．

3－t＝t，

t＝2 (秒)．

答：當t＝1秒或t＝2秒時，△PBQ是直角三角形． 

⑵ 過P作PM⊥BC于M ．

Rt△BPM中，sin∠B＝，

∴PM＝PB?sin∠B＝(3－t )．

∴S_△PBQ＝BQ?PM＝? t ?(3－t )．

∴y＝S_△ABC－S_△PBQ

＝×3²×－? t ?(3－t )

＝．

∴y與t的關系式為： y＝．  

假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的，

則S_{四邊形APQC}＝S_△ABC ．

∴＝××3²×．

∴t ²－3 t＋3＝0．

∵(－3) ²－4×1×3＜0，

∴方程無解．

∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．

⑶ 在Rt△PQM中，

MQ＝＝．

MQ ²＋PM ²＝PQ ²．

∴x²＝[(1－t ) ]²＋[(3－t ) ]²

＝

＝＝3t²－9t＋9．       

∴t²－3t＝．

∵y＝，

∴y＝＝＝．

∴y與x的關系式為：y＝．