Question

（2006•黔東南州）某村王大爺家有一塊梯形形狀的稻田（如圖所示），已知：上底AD=40米，下底BC=60米，高h(yuǎn)=30米，王大爺準(zhǔn)備把這塊梯形形狀的稻田平均分給兩個(gè)兒子（面積相等）．
（1）分割方法有無(wú)數(shù)種，請(qǐng)你幫助王大爺設(shè)計(jì)兩種不同的分割方案，在圖1、圖2中分別畫(huà)出來(lái)，并說(shuō)明理由；
（2）為了盡可能減少筑砌分割田坎的勞動(dòng)量（只考慮田坎長(zhǎng)度對(duì)工時(shí)的影響，不計(jì)其它因素），問(wèn)：田坎應(yīng)砌在什么位置最短？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出來(lái)，并求出此時(shí)分割線(xiàn)的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）①利用上下底的中點(diǎn)分割，可分割成兩個(gè)上下底分別相等的梯形；
②連接BD，利用BD的中點(diǎn)O，沿AO和CO分割，即可分割成兩個(gè)面積相等的四邊形ABCO和ADCO；
（2）利用垂線(xiàn)段最短，所以可�、僦蟹指罹�(xiàn)的中點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作底的垂線(xiàn)段即可，此時(shí)該線(xiàn)段等于梯形的高．
解答：解：（1）方法一：分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF，線(xiàn)段EF就是所求作的分割線(xiàn)．
（2分）
理由：∵AE=ED，BF=FC，
∴S_ABEF=（AE+BF）h=（ED+FC）h=S_EFCD；（3分）

方法二：連接BD，在BD上取中點(diǎn)O，連接AO、CO，折線(xiàn)AOC可以把梯形分割為兩個(gè)面積相等的圖形．

理由：∵BO=OD，∴S_△ABO=S_△AOD，S_△BOC=S_△DOC，
∴S'_△ABO+S'_△BOC=S'_△AOD+S'_△DOC，
同理，連接AC，取中點(diǎn)O，連接BO、OD，折線(xiàn)BOD可以把梯形分割為兩個(gè)面積相等的圖形；（6分）

方法三：取CD的中點(diǎn)G，過(guò)G作FH∥AB，與BC交于F，與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H．

可證：S'_△DHG=S'_△CFG，則過(guò)AF中點(diǎn)O且不穿越△DHG或△CFG或G點(diǎn)的直線(xiàn)均可把梯形面積等分；
（注意：方法（1分），理由（2分），共6分）

（2）田坎應(yīng)砌在經(jīng)過(guò)EF中點(diǎn)且與AD、BC垂直的線(xiàn)段GH的位置時(shí)最短．

理由：∵O是EF的中點(diǎn)，∴△EOG≌△FOH，
∴S'_△EOG=S′_△FOH，∴S′_ABHG=S′_GHDC，
此時(shí)，最短線(xiàn)段GH的長(zhǎng)度等于高，即為30米．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題需仔細(xì)分析題意，利用線(xiàn)段的中點(diǎn)即可解決問(wèn)題．