Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN，PQ，點(diǎn)M，N，P，Q分別在邊AB，CD，BC上．墨墨認(rèn)為：若MN=PQ，則MN⊥PQ；茗茗認(rèn)為：若MN⊥PQ，則MN=PQ．你認(rèn)為（　　）

A．墨墨說得對(duì)

B．茗茗說得對(duì)

C．兩個(gè)人說的都對(duì)

D．兩個(gè)人說的都不對(duì)

Answer 1

分析：過點(diǎn)M作ME⊥CD于E，過點(diǎn)P作PF⊥BC于F，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ME=PF，且ME⊥PF，然后利用“HL”證明Rt△MNE和Rt△PQF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再根據(jù)∠2+∠3=∠1+∠3，求出MN⊥PQ，判斷出墨墨的說法正確；根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角角邊”證明△MNE和△PQF全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=PQ，判斷出說法正確，從而得解．

解答：解：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥CD于E，過點(diǎn)P作PF⊥BC于F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴ME=PF，且ME⊥PF，
在Rt△MNE和Rt△PQF中，

MN=PQ ME=PF

，
∴Rt△MNE≌Rt△PQF（HL），
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∴MN⊥PQ，
故墨墨的說法正確；
∵M(jìn)E⊥PF，
∴∠1+∠3=30°，
∵M(jìn)N⊥PQ，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△MNE和△PQF中，

∠1=∠2 ∠MEN=∠PFQ=90° ME=PF

，
∴△MNE≌△PQF（AAS），
∴MB=PQ，
故茗茗的說法正確，
綜上所述，兩個(gè)人說的都對(duì)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．