Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，O為AB的中點，點D為AB邊上任意一點，以D為頂點作等腰直角三角形DEF，斜邊EF經(jīng)過點O，且使EO=OF，連結(jié)CF、BF、CD，很明顯點C、F、O在同一條直線上
（1）請寫出線段BF與CD的數(shù)量、位置關(guān)系，并證明；
（2）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉(zhuǎn)得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖②，線段BF的延長線與CD相交于G點，求出∠OGD的度數(shù)

45°

．

Answer 1

分析：（1）通過證明△BOF≌△COD，則BF=CD；如圖①，延長BF交CD于點G．利用全等三角形的對應(yīng)角相等，
（2）如答圖②所示，連接OC、OD，證明△BOF≌△COD；
（3）設(shè)OC交BG于點M，由（2）可得△BOF≌△COD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和四點共圓的判定證得O，G，C，B四點共圓，；然后圓周角定理可得∠BGO=∠BCO，
∠BGO=45°，∠BGD=90°，則∠OGD=∠BGD-∠BGO=45°．

解答：解：（1）BF=CD，BF⊥CD．理由如下：
如圖，∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O為AB的中點，
∴OB=OC=

1

2

AB．
同理，在等腰直角△EFD中，OF=OD=

1

2

EF．
∴在△BOF與△COD中，

OB=OC ∠BOF=∠COD=90° OF=OD

，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD，∠FBO=∠DCO．
∴∠FBO+∠BFO=90°，∠BFO=∠CFG，
∴∠BGD=∠DCO+∠CFG=∠FBO+∠BFO=90°，即BF⊥CD；

（2）BF=CD．理由如下：
如圖②所示，連接OC、OD．
∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF與△COD中，

OB=OC ∠BOF=∠COD=90° OF=OD

，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD；

（3）設(shè)OC交BG于點M，
由（2）可得△BOF≌△COD（SAS）
∴∠OBF=∠OCD，
∵∠OBF+∠OMB=90°，∠OMB=∠CMG，
∴∠OCD+∠CMG=90°，
∴∠BGC=90°，
∵∠BOC=∠BGC=90°
∴O，G，C，B四點共圓，
根據(jù)圓周角定理可得∠BGO=∠BCO，
∵∠BCO=45°，
∴∠BGO=45°，
∵∠BGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∴∠OGD=∠BGD-∠BGO=45°．
故答案為：45°．

點評：本題是幾何綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換中相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵是：第一，善于發(fā)現(xiàn)幾何變換中不變的邏輯關(guān)系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟練運用等腰直角三角形、等邊三角形、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)．本題（1）（2）問的解題思路一脈相承，由特殊到一般，有利于同學(xué)們進行學(xué)習(xí)與探究．