Question

直線y=-

3

4

x+6分別與x軸、y軸交于點A、B，經(jīng)過A、B兩點的拋物線與x軸的另一交點為C，且其對稱軸為x=3．
（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)D（x，y）是拋物線在第一象限內(nèi)的一個點，點D到直線AB的距離為d、試寫出d關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，這個函數(shù)是否有最大值或最小值？如果有，并求這個值和此時點D的坐標(biāo)；如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出A、B兩點的坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)的對稱性，求出C點的坐標(biāo)，設(shè)出一般式、頂點式、交點式均可根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)同一圖形面積相等，利用補形法或分割法建立起d和x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答．

解答：解：（1）直線y=-

3

4

x+6與x、y軸的交點分別為A（8，0）、B（0，6）（1分）
[方法1]設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
因其對稱軸為x=3，
所以點
C（-2，0）
將點B（0，6）代入y=ax²+bx+c得c=6（2分）
由題意得

64a+8b+6=0 4a-2b+6=0

（4分）
解得

a=- 3 8 b= 9 4

（5分）
所以，所求的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

8

x²+

9

4

x+6；（6分）
[方法2]設(shè)拋物線對應(yīng)的次函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-3）²+k（2分）
由題意得

25a+k=0 9a+k=6

（4分）
解得

a=- 3 8 k= 75 8

（5分）
所以，所求的函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

8

（x-3）²+

75

8

（6分）

（2）[方法1]連接AD、BD，過D作DE⊥OA于E，AB=

OA2+OB2

=10
因為S_△ABD=

1

2

AB•d=5d（7分）
又S_△ABD=S_{四邊形OADB}-S_△AOB=S_梯形OEDB+S_△ADE-S_△AOB（8分）
=

(OB+DE)•OE

2

+

1

2

AE•DE-

1

2

OA•OB（9分）
所以d=-

3

10

（x-4）²+4.8（11分）
=

(6+y)x

2

+

(8-x)y

2

-

1

2

×6×8=3x+4y-24
=3x+4（-

3

8

x²+

9

4

x+6）-24=-

3

2

x²+12x=-

3

2

（x-4）²+24（10分）
所以d=-

3

10

（x-4）²+4.8（11分）
所以，當(dāng)x=4時，d取得最大值4.8，這時點D的坐標(biāo)為（4，9）．（12分）
[方法2]連接AD、BD，過點D作DE⊥OA，垂足為E，DE交AB于點F，
因點F在直線AB上，
所以點F的坐標(biāo)為（x，-

3

4

x+6），AB=

OA2+OB2

=10
由于DE⊥OA，
所以O(shè)E、AE分別是△BDF和△ADF的高
因為S_△ABD=

1

2

AB•d=5d（7分）
又S_△ABD=S_△ADF+S_△BDF=

1

2

DF•AE+

1

2

DF•OE（8分）
=

1

2

DF•（AE+OE）=

1

2

DF•OA=4DF（9分）
=4（DE-EF）=4[y-（-

3

4

x+6）]=4（-

3

8

x²+

9

4

x+6+

3

4

x-6）=-

3

2

（x-4）²+24（10分）
所以d=-

3

10

（x-4）²+4.8（11分）
所以，當(dāng)x=4時，d取得最大值4.8，這時點D的坐標(biāo)為（4，9）．（12分）

點評：此題有一定的開放性，著重考查了兩個方面的內(nèi)容：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）通過圖形面積，構(gòu)造二次函數(shù)，將距離問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解答．