Question

已知：α、β是方程2x²+4x+1=0的兩根．
（1）求：3α²+β²+4α+2的值．
（2）求作一個關(guān)于y的方程，使它的兩根分別是（

α β

+

β α

）和（α-1）（β-1）．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程的解的定義求得2α²+4α+1=0①；然后根據(jù)韋達定理求得α+β=-2②，αβ=

1

2

③；最后將所求的代數(shù)式根據(jù)完全平方公式變形為含有①②③的代數(shù)式，將①②③代入求值即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求得關(guān)于y的方程的兩個根；然后求該方程的解析式．

解答：解：∵α、β是方程2x²+4x+1=0的兩根，
∴2α²+4α+1=0，
α+β=-2，αβ=

1

2

．
（1）3α²+β²+4α+2
=（2α²+4α+1）+（α²+β²）+1
=0+（α+β）²-2αβ+1
=4-1+1
=4；

（2）∵（

α β

+

β α

）²=

α

β

+2+

β

α

=

(α+β)2

αβ

=

4

1 2

=8；
（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=

1

2

+2+1=

7

2

；
∴所求的方程的兩個根分別是2

2

和

5

2

；
∴所求的方程可以是（y-2

2

）（y-

7

2

）=0（答案不唯一）．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．