Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)坐標(biāo)為．

求該拋物線的解析式；

拋物線的頂點(diǎn)為，在軸上找一點(diǎn)，使最小，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．當(dāng)的面積最大時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

若平行于軸的動直線與該拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．問：是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）；（4）的坐標(biāo)為：或或或．

【解析】

（1）把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、c的值，可求得拋物線解析；

（2）可求得點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)，連接C′N交x軸于點(diǎn)K，再求得直線C′K的解析式，可求得K點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（m，0），可表示出AB、BQ，再證明△BQE≌△BAC，可表示出EG，可得出△CQE關(guān)于m的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）分DO＝DF、FO＝FD和OD＝OF三種情況，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，

∴，解得，

∴拋物線解析式為；

由可求得拋物線頂點(diǎn)為，

如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，

設(shè)直線的解析式為，

把、點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線的解析式為，

令，解得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，

由，得，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，

又∵，

∴，

∴，即，

解得；

∴．

又∵，

∴當(dāng)時，有最大值，此時；

存在．在中，

若，∵，，

∴．

又在中，，

∴．

∴．

∴．

此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由，得，．

此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；

若，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

由等腰三角形的性質(zhì)得：，

∴．

∴在等腰直角中，．

∴．

由，得，．

此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；

若，

∵，且．

∴．

∴點(diǎn)到的距離為．

而，與矛盾．

∴在上不存在點(diǎn)使得．

此時，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形．

綜上所述，存在這樣的直線，使得是等腰三角形．所求點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或．