Question

16．如圖，正方形ABCD的邊長是4，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，BE=DF．
矩形AEGF的邊EG與邊CD相交于點H．設(shè)BE=x，四邊形DHGF的面積為y．
（1）求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)BE為何值時，四邊形DHGF的面積最大？

Answer 1

分析 （1）由四邊形AEGF為矩形，ABCD為正方形，得到三個角為直角，進而確定出四邊形DHGF為矩形，表示出DH，由DF與DH乘積列出y與x的關(guān)系式，并求出x的范圍即可；
（2）二次函數(shù)解析式配方后，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出四邊形DHGF面積最大值，以及此時BE的值即可．

解答 解：（1）∵AEGF為矩形，ABCD為正方形，
∴∠F=∠G=∠HDF=90°，
∴四邊形DHGF是矩形，
又DH=AE=AB-BE=4-x，
∴y=DF•DH=x（4-x）=-x²+4x（0＜x＜4）；
（2）y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=2時，y有最大值為4，
則當(dāng)BE為2時，四邊形DHGF的面積最大，最大值是4．

點評 此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．