(2006•威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=8cm,CD=2cm,AD=BC=6cm,M、N為同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M沿A?D?C?B的方向運(yùn)動(dòng),速度為2cm/秒;點(diǎn)N沿A?B的方向運(yùn)動(dòng),速度為1cm/秒.當(dāng)M、N其中一點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形的面積為ycm2
(1)試求出當(dāng)0<x<3時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試求出當(dāng)4<x<7時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)3<x<4時(shí),以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形是否有可能相似?若相似,試求出x的值;若不相似,試說明理由.

【答案】分析:(1)由題意可證∠A=60?,進(jìn)而由三角函數(shù)可求△AMN的面積即y=x2
(2)過點(diǎn)M作MG⊥AB,垂足為G.可證△MGB∽△CFB,即求GM=(7-x),所以△AMN的面積即y=x-x2
(3)當(dāng)3<x<4時(shí),以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與以B,M,N為頂點(diǎn)的三角形不可能相似.
當(dāng)x=3時(shí),動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí),動(dòng)點(diǎn)N恰好與點(diǎn)E重合,此時(shí)∠MNA=90?.
當(dāng)3<x<4時(shí),∠MNA必為鈍角.則∠MNA≠∠MNB,而∠MNA=∠NMB+∠MBN,因此,△AMN與△BMN不可能相似.
解答:解:(1)如圖①,過D作DE⊥AB,垂足為E;過C作CF⊥AB,垂足為F.
∴CD=EF=2.
∵AD=BC,DE=CF,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴AE=BF=3.(1分)
在Rt△ADE中,AD=6,AE=3,
∴∠ADE=30?,∠A=60?
∴在△AMN中,AN=x,高為2x•sin60°=x.
∴y=•x•x.即y=x2

(2)如圖②,過點(diǎn)M作MG⊥AB,垂足為G.
∵M(jìn)G∥CF,
∴△MGB∽△CFB.
∴GM:CF=BM:BC.
∵CF=DE=,
∴GM:3=(6+2+6-2x):6.
∴GM=(7-x).
∴y=(7-x).
即y=x-x2

(3)當(dāng)3<x<4時(shí),以A,M,N為頂點(diǎn)的三角形與以B,M,N為頂點(diǎn)的三角形不可能相似.
當(dāng)x=3時(shí),動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí),動(dòng)點(diǎn)N恰好與點(diǎn)E重合,此時(shí)∠MNA=90?.
當(dāng)3<x<4時(shí),∠MNA必為鈍角.則∠MNA≠∠MNB,而∠MNA=∠NMB+∠MBN,因此,△AMN與△BMN不可能相似.
點(diǎn)評(píng):本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,注意某個(gè)圖形無法解答時(shí),常常放到其他圖形中,利用圖形間的“和差“關(guān)系求解.本題還考查了相似三角形的判定以及勾股定理的運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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(2)試求出當(dāng)4<x<7時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)3<x<4時(shí),以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形是否有可能相似?若相似,試求出x的值;若不相似,試說明理由.

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(1)圖①是太陽光線與地面所成角度的示意圖.冬至日正午時(shí)刻,太陽光線直射在南回歸線(南緯23.5°)B地上.在地處北緯36.5°的A地,太陽光線與地面水平線l所成的角為α,試借助圖①,求α的度數(shù);
(2)圖②是乙樓高度、樓間距對(duì)甲樓采光影響的示意圖.甲樓地處A地,其二層住戶的南面窗戶下沿距地面3.4米.現(xiàn)要在甲樓正南面建一幢高度為22.3米的乙樓,為不影響甲樓二層住戶(一層為車庫)的采光,兩樓之間的距離至少應(yīng)為多少米?

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(2)圖②是乙樓高度、樓間距對(duì)甲樓采光影響的示意圖.甲樓地處A地,其二層住戶的南面窗戶下沿距地面3.4米.現(xiàn)要在甲樓正南面建一幢高度為22.3米的乙樓,為不影響甲樓二層住戶(一層為車庫)的采光,兩樓之間的距離至少應(yīng)為多少米?

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A.9.24×107
B.9.24×108
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D.9.24×109

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