Question

【題目】已知，如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，CP=OD？

（2）當(dāng)△OPD為等腰三角形時(shí)，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（請(qǐng)直接寫出答案，不必寫過(guò)程）．

（3）在線段PB上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ODQP為菱形？若存在，求t的值，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）（2，4），（2.5， 4），（3，4），（8， 4）；（3）（8，4）.

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易得：OD=5，由CP=t=OD=5即可求得t的值；

（2）結(jié)合圖形分：OP=DP、OP=OD和PD=OD三種情況分別討論解答即可；

（3）由四邊形ODQP是菱形可知：OP=OD=5，從而可求出點(diǎn)P此時(shí)的坐標(biāo)，再由PQ=OD=5即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

試題解析：

（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），

∴OA=10，

∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),

∴OD=5，

又∵CP=t=OD=5，

∴t=5；

（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），CB∥軸，點(diǎn)P在CB上運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.

△OPD為等腰三角形，存在以下三種情況：

I、當(dāng)OP=DP時(shí)，點(diǎn)P在線段OD的垂直平分線上，

∴此時(shí)CP=t=OD=2.5，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2.5，4）；

II、當(dāng)OP=OD=5時(shí)，

在Rt△OPC中，由勾股定理可得：CP=，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）；

III、當(dāng)PD=OD=5時(shí)，如圖3，存在以下兩種情況：

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則DE=OC=4，CE=OD=5，

在Rt△P1DE中，∵P1D=OD=5，

∴P1E=，

∴CP1=CE-P1E=2，即此時(shí)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，4）；

同理可得：點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（8，4）；

綜上所述，當(dāng)△OPD為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）、（2.5，4）、（3，4）和（8，4）；

（3）如圖4，∵四邊形ODQP是菱形，

∴OP=OD=PQ=5，

由（2）可知，當(dāng)OP=5時(shí)，CP=3，

∴CQ=CP+PQ=8，

又∵點(diǎn)P在線段CB上，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，4）.