Question

如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為AB上一點，E是BC延長線上一點，且AF=EC，連接EF，DE，DF，M是FE中點，連接MC，設(shè)FE與DC相交于點N．
（1）在以下結(jié)論①∠FDB=∠FEB；②MC垂直平分BD；③△DFN∽△EBD中正確的有________，請選擇一個你認為正確的結(jié)論進行證明．
（2）若MC=，求BF的長．

Answer 1

解：（1）①②③．
②MC垂直平分BD，
證明如下：連接BM、DM．
∵ABCD是正方形，
∴∠A=∠DCE=90°，AD=CD；
又∵AF=EC（已知），
∴△AFD≌△CED．（SAS）
∴∠FDA=∠EDC，DF=DE．
∴∠FDE=∠ADC=90°．
∵M是EF的中點，
∴MD=EF；
∵BM=EF，
∴MD=MB=PC．
又 DC=BC，MC是公共邊，
∴△DCM≌△BCM，（SSS）
∴∠BCM=∠DCM，即DP平分∠ADC，
∴CM在正方形ABCD的角平分線AC上，
∴MC垂直平分BD；

（2）過點M作MQ⊥BC于點．
由（1）知，CM即BD的中垂線，
∴∠MCQ=45°；
又∵點M是EF的中點，
∴MQ是直角三角形EFB的中位線，
∴MQ=BF；
又∵MC=
∴MQ=1，
∴BF=2MQ=2．
分析：（1）①②③，選擇②進行證明．連接BM、DM．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BM=EF=MD．運用“SSS”證明△BCM≌△DCM，得∠BCM=∠DCM；最后由正方形的性質(zhì)推知MC垂直平分BD；
（2）過點M作MQ⊥BC于點，構(gòu)建直角三角形BEF的中位線MQ；根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)推知∠MCQ=45°；然后利用銳角三角函數(shù)求得MQ=1；最后根據(jù)三角形中位線定理求得BF的長．
點評：本題考查了正方形的相關(guān)性質(zhì)，三角形的全等，線段中垂線的判定．特殊的四邊形一直是中考的熱點，所以想設(shè)計一題此類的綜合壓軸題，能適當結(jié)合證明與計算，并且能讓學生有回旋余地，故設(shè)計了第（1）小題的開放題，當然這三個結(jié)論在證明的難易程度中我認為是不相上下的，任何一個結(jié)論的得到都需要一定的思維量，因為考查的知識點都很豐富．當然若是選擇第二個結(jié)論的證明，將對第（2）小題有鋪墊作用，難易程度--難．