Question

（2013•澄海區(qū)模擬）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若在x軸下方且平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)M、N，若以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；
（2）設(shè)出圓的半徑表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后根據(jù)N點(diǎn)在拋物線上求得圓的半徑即可；
（3）分PA=PC、PA=AC和PC=AC三種情況分類討論即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）設(shè)所求圓的半徑為r（r＞0），M在N的左側(cè)，
由題意可知所求圓的圓心在拋物線的對(duì)稱軸
x=1上，
作NG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵所求圓與x軸相切，MN∥x軸，且圓心在x軸下方，
∴N（r+1，-r），
∵N（r+1，-r）在拋物線y=x²-2x-3上，
∴-r=（r+1）²-2（r+1）-3，
解得，r=

-1± 17

2

（負(fù)值舍去）
∴r=

17 -1

2

．

（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，設(shè)P（1，m），
在Rt△AOC中，AC²=1+3²=10，
在Rt△APE中，PA²=m²+4，
在Rt△PCF中，PC²=（m+3）²+1=m²+6m+10，
①若PA=PC，則PA²=PC²，得：
m²+4=m²+6m+10，解得：m=-1；
②若PA=AC，則PA²=AC²，得：
m²+4=10，解得：m=±

6

；
③若PC=AC，則PC²=AC²，得：
m²+6m+10=10，解得：m=0或m=-6；
當(dāng)m=-6時(shí)，P、A、C三點(diǎn)共線，不合題意，舍去，
∴符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：
P₁（1，

6

）、P₂ （1，-

6

）、P₃ （1，-1），P₄ （1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸的確定是進(jìn)一步解題的依據(jù)，比較重要．