Question

如圖①、②、③是兩個(gè)半徑都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合狀態(tài)沿水平方向運(yùn)動(dòng)到互相外切過程中的三個(gè)位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，分別連接O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB．
（1）如圖②，當(dāng)∠AO₁B=120°時(shí)，求兩圓重疊部分圖形的周長(zhǎng)l；
（2）設(shè)∠AO₁B的度數(shù)為x，兩圓重疊部分圖形的周長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）由（2），若y=2π，則線段O₂A所在的直線與⊙O₁有何位置關(guān)系，為什么？除此之外，它們還有其它的位置關(guān)系，寫出其它位置關(guān)系時(shí)x的取值范圍．（獎(jiǎng)勵(lì)提示：如果你還能解決下列問題，將酌情另加1～5分，并計(jì)入總分．）
在原題的條件下，設(shè)∠AO₁B的度數(shù)為2n，可以發(fā)現(xiàn)有些圖形的面積S也隨∠AO₁B變化而變化，試求出其中一個(gè)S與n的關(guān)系式，并寫出n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的對(duì)稱性，該圖形的周長(zhǎng)是一條弧長(zhǎng)的2倍，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算；
（2）只需把圓心角換成x°即可計(jì)算；
（3）根據(jù)（2）中的關(guān)系式，計(jì)算出x的值，根據(jù)四邊形的形狀即可分析判定直線和圓的位置關(guān)系．

解答：解：（1）如圖②由題意知
解法一：依對(duì)稱性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l(xiāng)=2×[

1

3

×（2π×2）]=

8π

3

，
解法二：∵O₁A=O₁B=O₂A=O₂B，
∴四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l(xiāng)=2×

AO2B

的長(zhǎng)=2×

120×π×2

180

=

8π

3

；

（2）由（1）知菱形AO₁BO₂中∠AO₂B=∠AO₁B，且度數(shù)都是x，
∴y=2×

x•π×2

180

，
得y=

π

45

x（0≤x≤180）；

（3）若y=2π，則線段O₂A所在直線與圓O₁相切，
因?yàn)閥=2π，由（2）知

π

45

x=2π，
解得x=90，
∴∠AO₁B=90°，知菱形AO₁BO₂是正方形，
∴∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，
而O₁A是圓O₁的半徑，且點(diǎn)A為O₁A的外端，
∴線段O₂A所在的直線與圓O₁相切．
還有線段O₂A所在的直線與圓O₁相交，此時(shí)0≤x＜90和90＜x≤180，
如：扇形O₁AB的面積：S=

2n

360

π×22=

π

45

n（0≤n≤90）；
△O₁AB的面積：S=4sinn°cosn°（0≤n≤90）；
半重疊部分圖形的面積：S=

π

45

n-4sinn°cosn°（0≤n≤90）．

點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．熟悉切線的判定方法，能夠根據(jù)直線和圓相切進(jìn)一步討論其它情況．