Question

如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)P在射線AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H．
（1）直接寫(xiě)出線段AC、AD及⊙O半徑的長(zhǎng)；
（2）設(shè)PH=x，PC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)PH與⊙O相切時(shí)，求相應(yīng)的y值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理求AC的長(zhǎng)度；設(shè)⊙O的半徑為r，則r=（AC+BC-AB）；根據(jù)圓的切線定理、正方形的判定定理知四邊形CEOF是正方形；然后由正方形的性質(zhì)證得CF=OF=1，則由圖中線段間的和差關(guān)系即可求得AD的長(zhǎng)度；
（2）分類(lèi)討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，通過(guò)相似三角形△AHP∽△ACB的對(duì)應(yīng)邊成比例知，==，將“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理，利用相似三角形的性質(zhì)求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)圓的切線定理證得四邊形OMH′D、四邊形CFOE為正方形；然后利用正方形的性質(zhì)、圓的切線定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；最后將其代入（2）中的函數(shù)關(guān)系式即可求得y值．
解答：解：（1）AC=4，AD=3，⊙O的半徑長(zhǎng)為1．
（如圖1，連接AO、DO．設(shè)⊙O的半徑為r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC==4，
則⊙O的半徑r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切線，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四邊形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切線，
∴AF=AD；
∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3）；

（2）①如圖1，若點(diǎn)P在線段AC上時(shí)．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴==，
即=，
∴y=-x+4，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+4（0≤x≤2.4）；
②同理，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，△AHP∽△ACB，
則==，
即=，
∴y=x-4，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=x-4（x＞2.4）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，如圖2，P′H′與⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四邊形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四邊形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=-x+4，
∴y=-y+4，解得，y=．
②當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，P″H″與⊙O相切．此時(shí)y=1
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．解題時(shí)，綜合運(yùn)用了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．