Question

如圖，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AF為△ABC的角平分線，分別過點C、B作AF的垂線，垂足分別為E、D．以下結(jié)論：①CE＝DE＝BD；②AF＝2BD；③CE+EF＝AE；④＝．其中結(jié)論正確的序號是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

B
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．
專題：綜合題．
分析：延長線段BD與AC的延長線交于點M，然后由兩個角相等得出三角形ACE與三角形ABD相似，且相似比等于1比 ，得出三角形ACF與三角形BMC全等，即可得出CE與DE相等且等于 BD，AF等于2BD，然后由三角形CEF與三角形BDF相似，且相似比也等于1比 ，如果EF=1，則DF= ，設(shè)AE=x，則AD=x，利用AE+EF+0D等于AD列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后表示出AF，求出AF與FD的比值即可．
解答：解：延長線段BD與AC的延長線交于點M
∵AD為∠CAB的平分線，AD⊥MB，
∴AM=AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=45°，
∵AF為△ABC的角平分線，
∴∠AFC=90°-∠CAD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠M=∠AFC=67.5°，
又∵∠ACF=∠BCM=90°，AC=AB，
∴△ACF≌△BCM，
∴AF=BM=2BD，故②正確；
又∵AD為∠CAB的平分線，
∴∠CAD=∠BAD，且∠AEC=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ABD，
∴===，
∴CE=DE=BD，故①正確；
又∵△CEF∽△BDF，
∴=，設(shè)AE=x，則AD=x，
∴x+1+=x，解得x=
∴=，故④正確．
故選B．
點評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判斷解決數(shù)學(xué)問題，是一道綜合題．