Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E．
（1）若D為AC的中點，證明DE是⊙O的切線；
（2）若OA=$\sqrt{3}$，CE=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AE，OE，∠AEB=90°，∠BAC=90°，在Rt△ACE中，D為AC的中點，則DE=AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，得出∠DEA=∠DAE，由OA=OE，得出∠OAE=∠OEA，則∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，即可得出結(jié)論；
（2）AB=2AO=2$\sqrt{3}$，由△BCA∽△BAE，得出$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AB}{BE}$，求出BE=3，BC=4，由勾股定理得AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC代入即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接AE，OE，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠BAC=90°，
∵在Rt△ACE中，D為AC的中點，
∴DE=AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠DEA=∠DAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°，
∴OE⊥DE，
∵OE為半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵AO=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AO=2$\sqrt{3}$，
∵∠CAB=∠AEB=90°，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAE，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{AB}{BE}$，即AB²=BE•BC=BE（BE+EC），
∴（2$\sqrt{3}$）²=BE²+BE，
解得：BE=3或BE=-4（不合題意，舍去），
∴BE=3，
∴BC=BE+CE=3+1=4，
∴在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度．