Question

已知：如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，∠A=36°，AC=BC，AC²=AD•AB．
（1）試說明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的值．

Answer 1

分析：（1）可通過證角相等來證三角形是等腰三角形．根據(jù)給出的比例關(guān)系式子，我們不難得出三角形ACD和ABC相似．那么可得出∠ACD=∠B，AC=DC，通過等邊對等角我們可得出∠A=∠ACD，那么三角形ACD就是等腰三角形．證三角形CDB可通過角的度數(shù)進行證明（根據(jù)∠A的度數(shù)和三角形的內(nèi)角和）．
（2）由于AC=BC，而（1）中也已經(jīng)得出BC=BD，那么AC=BD，可用AC表示出AD，根據(jù)題中給出的比例關(guān)系求出AC的值．

解答：（1）證明：∵AC²=AD•AB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=36°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ACD=∠B=36°，
∴三角形ADC是等腰三角形，
∵∠BDC=∠A+∠ACD=72°，
∵∠B=36°，
∴∠BCD=180-36-72=72°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴三角形BCD是等腰三角形．

（2）解：∵AC=BC，BD=BC，
∴AC=BD，
∴AD=1-AC，
∵AC²=AD•AB，
∴AC²=1-AC，
解得：AC=

-1+ 5

2

（AC＞0）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和等腰三角形的判定，根據(jù)題中的條件得出相似三角形進而得出對應角相等是解題的關(guān)鍵．