Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，將∠ABC對折，使點C的對應點H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點O，以點O為坐標原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系．
（1）求過A、B、O三點的拋物線解析式；
（2）若在線段AB上有一動點P，過P點作x軸的垂線，交拋物線于M，設PM的長度等于d，試探究d有無最大值？如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由．
（3）若在拋物線上有一點E，在對稱軸上有一點F，且以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，試求出點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用勾股定理求出AB的長，再利用在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，求出m的值，進而得出O，A，B的坐標，再利用交點式求出拋物線解析式即可；
（2）首先求出AB解析式，表示出P，M坐標，進而得出關于PM的解析式，即可得出二次函數最值；
（3）①當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．
②當AO為平行四邊形的邊時，分別得出E點坐標即可．
解答：解：（1）在Rt△ABC 中，
∵BC=3，tan∠BAC=，
∴AC=4．
∴AB=．
設OC=m，連接OH，如圖，由對稱性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，得 m=．
∴OC=，OA=AC-OC=，
∴O（0，0）A（，0），B（-，3）．
設過A、B、O三點的拋物線的解析式為：y=ax（x-）．
把x=，y=3代入解析式，得a=．
∴y=x（x-）=．
即過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=．

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，根據題意得：

解之得：，
∴直線AB的解析式為y=．
設動點P（t，），則M（t，）．
∴d=（）-（）=-=
∴當t=時，d有最大值，最大值為2．

（3）設拋物線y=的頂點為D．
∵y==，
∴拋物線的對稱軸x=，頂點D（，-）．
根據拋物線的對稱性，A、O兩點關于對稱軸對稱．
①當AO為平行四邊形的對角線時，拋物線的頂點D以及點D關于x軸對稱的點F與A、O四點為頂點的四邊形一定是平行四邊形．
這時點D即為點E，所以E點坐標為（）．
②當AO為平行四邊形的邊時，由OA=，知拋物線存在點E的橫坐標為或，即或，
分別把x=和x=代入二次函數解析式y=中，得點
E（，）或E（-，）．
所以在拋物線上存在三個點：E₁（，-），E₂（，），E₃（-，），使以O、A、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式和平行四邊形的性質等知識，得出A，B點的坐標是解題關鍵．