Question

4．用如圖（1）兩個(gè)直角三角形BC=EF=3，∠B=45°，∠E=30°，拼接如圖（2），使得BC和ED重合，在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P．
（1）在圖（2），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠CFB的平分線上時(shí)，連接AP，求線段AP的長(zhǎng)；
（2）在圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中出現(xiàn)PA=FC時(shí)，求∠PAB的度數(shù)
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、P、F、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊FC上？求出此時(shí)四邊形
APFQ的面積．

Answer 1

分析 （1）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，構(gòu)造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的長(zhǎng)度；
（2）如答圖2所示，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)．解直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出角的度數(shù)；
（3）先判斷出AP∥FQ，進(jìn)而得出AP⊥BC，即可求出AP=BP=CP=$\frac{3}{2}$，最后用四邊形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由題意，得∠CFB=60°，F(xiàn)P為角平分線，則∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴CP=CF•tan∠CFP=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=1．
過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴PG=CG-CP=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{A{G}^{2}+P{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

（2）由（1）可知，F(xiàn)C=$\sqrt{3}$．
如答圖2所示，以點(diǎn)A為圓心，以FC=$\sqrt{3}$長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC交于點(diǎn)P₁、P₂，則AP₁=AP₂=$\sqrt{3}$．

過(guò)點(diǎn)A過(guò)AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$．
在Rt△AGP1中，cos∠P₁AG=$\frac{AG}{A{P}_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴∠P₁AG=30°，
∴∠P₁AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P₂AG=30°，∠P₂AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度數(shù)為15°或75°．

（3）如答圖3，

∵以A、P、F、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊FC上，
∴AP∥QF，
∴∠APC=∠BCF，
∵∠BCF=90°，
∴∠APC=90°，
在R△ABC中，∠ABC=45°，BC=3，
∴AC=AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AP=BP=CP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴S_{平行四邊形APFQ}=AP×PC=$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
即：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)的位置時(shí)，以A、P、F、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊FC上，且面積是$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了角平分線的意義，銳角三角函數(shù)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是特殊直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．