Question

已知：如圖，在△ABC中有D、E兩點，求證：BD+DE+EC＜AB+AC．

Answer 1

證明：延長BD交AC于M點，延長CE交BD的延長線于點N．
在△ABM中，AB+AM＞BM，
在△CNM中，NM+MC＞NC，
∴AB+AM+NM+MC＞BM+NC，
∵AM+MC=AC，BM=BN+NM，
∴AB+AC+NM＞BN+NM+NC，
∴AB+AC＞BN+NC①
在△BNC中，BN+NC=BD+DN+NE+EC，②
在△DNE中，DN+NE＞DE③
由②、③得：BN+NC＞BD+DE+EC④
由①、④得：AB+AC＞BN+NC＞BD+DE+EC．
分析：延長BD交AC于M點，延長CE交BD的延長線于點N．在△ABM中，AB+AM＞BM，在△CNM中，NM+MC＞NC，所以AB+AM+NM+MC＞BM+NC，再由AM+MC=AC，BM=BN+NM可知AB+AC+NM＞BN+NM+NC，故AB+AC＞BN+NC，
在△BNC中，BN+NC=BD+DN+NE+EC，在△DNE中，DN+NE＞DE，由此即可得出結論．
點評：本題考查的是三角形的三邊關系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．