Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點(diǎn)，CF⊥AB于點(diǎn)F，CE⊥AD的延長線于點(diǎn)E，且CE=CF．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AD=CD=6，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC．根據(jù)角平分線性質(zhì)定理的逆定理，得∠CAE=∠CAB．根據(jù)OC=OA，得到∠CAB=∠OCA，從而得到∠CAE=∠OCA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行，得到OC∥AE，從而根據(jù)切線的判定證明結(jié)論；
（2）根據(jù)AD=CD，得到∠DAC=∠DCA=∠CAB，從而DC∥AB，得到四邊形AOCD是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得OC=AD=6，則AB=12．根據(jù)∠CAE=∠CAB，得到弧CD=弧CB，則△OCB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得CF=3

3

，再根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）連接OC．
∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，
∴∠CAE=∠CAB．
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線；

（2）∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB．
∵∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴四邊形AOCD是平行四邊形．
∴OC=AD=6，AB=12．
∵∠CAE=∠CAB，
∴弧CD=弧CB，
∴CD=CB=6，
∴△OCB是等邊三角形，
∴CF=3

3

，
∴S_{四邊形ABCD}=

(CD+AB)CF

2

=

(6+12)•3 3

2

=27

3

．

點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了切線的判定、角平分線性質(zhì)定理的逆定理、平行線的判定和性質(zhì)、圓周角定理的推論、等邊三角形的判定和性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．