Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB．OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．

1.求A、B、C三點的坐標；

2.求此拋物線的表達式

3.連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A．點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

4.在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

 

1.解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8　………………………………1分

∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC

∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）

又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2

∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（－6，0）　…………………………………2分

2.∵點C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上

∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達式，得

　解得   

∴所求拋物線的表達式為y＝－x2－x＋8　　………………………………………5分

3.依題意，AE＝m，則BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10

∵EF∥AC　∴△BEF∽△BAC

∴＝　　即＝

∴EF＝ …………………………………………6分 

過點F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝

∴＝　∴FG＝·＝8－m

∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m　……………………………8分

自變量m的取值范圍是0＜m＜8　　…………………9分

4.存在．

理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8　　且－＜0，

∴當m＝4時，S有最大值，S最大值＝8　　………………………………10分

∵m＝4，∴點E的坐標為（－2，0）

∴△BCE為等腰三角形．　　……………………………………………12分

 【解析】略