Question

【題目】如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

求證：（1）

（2）．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）只要證明△BDF≌△ADC，推出BD=AD，推出∠BAD=∠ABD=2∠CBE=2∠DAC即可解決問(wèn)題．
（2）延長(zhǎng)BE、DG交于點(diǎn)K．先證明Rt△AEF≌Rt△KEG，再根據(jù)其性質(zhì)即可得到結(jié)論．

證明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°
∵AB=BC，E為AC中點(diǎn)，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴180°-∠C-∠ADC=180°-∠C-∠BEC
即∠CBE=∠CAD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=2∠CBE=2∠DAC．

（2）延長(zhǎng)BE、DG交于點(diǎn)K．

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CAB，∠K=∠ABE，
∵∠BAC=∠C，
∴∠CGD=∠C
∵∠K=∠CBE=∠CAD
∠AEF=∠KEG=90°，∠EAF=∠EKG，
∴DG=DC，DK=BD，
∴DG=DF，DK=BD=AD，
∴DK-DG=AD-DF，即GK=AF
在Rt△AEF和Rt△KEG中

，

∴Rt△AEF≌Rt△KEG （AAS），
∴EF=EG．