Question

設(shè)AB，CD為圓O的兩直徑，過B作PB垂直AB，并與CD延長線相交于點P，過P作直線PE，與圓分別交于E，F(xiàn)兩點，連AE，AF分別與CD交于G，H兩點（如圖），求證：OG=OH．

Answer 1

證明：過點F作FK∥GH交OB于M，交AE于K，過O點作ON⊥EF于N，如圖，
∵PB⊥OB，
∴∠ONP=∠OBP=90°，
∴點O，P，B，N四點共圓，
∴∠OPN=∠OBN，
而FK∥GH，
∴∠MFN=∠OPN，
∴∠MFN=∠OBN，
∴點M，F(xiàn)，B，N四點共圓，
∴∠MNF=∠MBF，
而∠MBF=∠E，
∴∠MNF=∠E，
∴MN∥KE，
又∵ON⊥EF，
∴NF=NE，
∴MF=MK，
而FK∥HG，
∴

OH

MF

=

OA

AM

，

OG

MK

=

OA

AM

，
∴

OH

MF

=

OG

MK

，
∴OG=OH．