Question

如圖，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分線，BH是∠ABC的平分線．
（1）求證：∠A=2∠H；
（2）若△ABC中，AB=AC，當∠A等于多少度時，AB∥HC．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)角平分線的定義得出∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，再根據(jù)∠HCD是△BCH的外角得出∠H=∠HCD-∠HBC=∠2-∠1，由∠ACD是△ABC的外角得出∠A=∠ACD-∠ABC，由此即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)∠A=x由（1）得∠H=

x

2

，再根據(jù)AB=AC可得出∠ABC=

180°-x

2

，根據(jù)BH是∠ABC的平分線可知∠1=

180°-x

4

，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知∠2=∠1+∠H=

180°-x

4

+

x

2

，再由平行線的判定定理即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵BH、CH分別是∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2，
∵∠HCD是△BCH的外角，
∴∠H=∠HCD-∠HBC=∠2-∠1，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A=∠ACD-∠ABC=2∠2-2∠1=2（∠2-∠1）=2∠H；

（2）解：設(shè)∠A=x由（1）得∠H=

x

2

，
∵AB=AC，
∴∠ABC=

180°-x

2

，
∵BH是∠ABC的平分線，
∴∠1=

180°-x

4

，
∵∠HCD是△BCH的外角，
∴∠2=∠1+∠H=

180°-x

4

+

x

2

，
要使得AB∥CH，則必須滿足∠ABC=∠2
∴

180°-x

2

=

180°-x

4

+

x

2

，解得x=60°
∴當∠A等于60°時，AB∥HC．

點評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．