Question

如圖，在梯形紙片ABCD中，BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2，過點(diǎn)B作BH⊥AD與H,BC=BH=2.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)作交折線于點(diǎn)，將紙片沿直線折疊，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、。設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒（）。
（1）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)或四邊形與梯形重疊部分面積為，請(qǐng)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)自變量的取值范圍；
（3）平移線段，交線段于點(diǎn)，交線段。在直線上存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形。請(qǐng)求出線段的所有可能的長度。

Answer 1

解：（1）t＋1， 

△PMN的邊長MN＝CN－CM＝CD＋DN－CM＝1＋2t－t＝t＋1.
當(dāng)點(diǎn)P落在AB上時(shí)，過P作PE⊥MN于E.則CE＝CM＋ME＝t＋＝
∴BE＝6－＝.∵等邊△PMN，MN＝t＋1,
∴PE＝PN·sin60°＝MN·sin60°＝(t＋1).
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝6.∴AC＝BC·tan30°＝.
∵∠PEB＝∠ACB＝90°，∠PBE＝∠ABC.∴△PBE∽△ABC，∴＝.
即＝，解得t＝
（2）當(dāng)0＜t≤時(shí)，△PMN在△ABC內(nèi)部.

∴S＝×(t＋1)×(t＋1)＝(t＋1)²
點(diǎn)N從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合所需時(shí)間為：＝（秒）
當(dāng)＜t＜時(shí)，△PMN與△ABC重疊部分為四邊形EFNM.

∵∠PNM＝60°，∠ABC＝30°,∴∠NFB＝∠ABC＝30°.∴NF＝NB＝6－(2t＋1)＝5－2t
∴PF＝(t＋1)－(5－2t)＝3t－4,∵∠NFB＝30°，∴∠PFE＝30°.
∵∠P＝60°，∴∠PEF＝90°,∴PE＝PF＝(3t－4)，EF＝PF＝(3t－4).
∴S_△PEF ＝EF·PE＝(3t－4)²
∴S＝S_△PMN －S_△PEF ＝(t＋1)²－(3t－4)²
＝－t²＋t－.
當(dāng)≤t＜6時(shí)，△PMN與△ABC重疊部分為△GMB.在Rt△GMB中，∠GBM＝30°，MB＝6－t.
∴GM＝MB＝(6－t)，GB＝MB＝(6－t)
∴S＝GM·GB＝(6－t)²當(dāng)t≥6時(shí)，S＝0.
（3）

（1）綜合運(yùn)用梯形、直角三角形、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形相似等知識(shí)，建立線段之間的等量關(guān)系；
（2）運(yùn)用分類討論的思想，找到重疊部分面積與之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）分類討論等腰三角形PGI的直角頂點(diǎn).