Question

15．如圖，A、B分別為反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$（x＜0），y=$\frac{8}{x}$（x＞0）圖象上的點，且OA⊥OB，則sin∠ABO的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{5}$

Answer 1

分析 直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)進而得出$\frac{AO}{BO}$的值，進而表示出AO，BO，AB的長，進而得出答案．

解答 解：過點A作AN⊥x軸于點N，過點B作BM⊥x軸于點M，
∵A、B分別為反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$（x＜0），y=$\frac{8}{x}$（x＞0）圖象上的點，
∴S_△ANO=$\frac{1}{2}$×2=1，
S_△BOM=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴$\frac{{S}_{△ANO}}{{S}_{△BOM}}$=$\frac{1}{4}$，
∵∠AOB=90°，
∴∠AON+∠BOM=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠AON=∠OBM，
又∵∠ANO=∠OMB，
∴△AON∽△OBM，
∴$\frac{AO}{BO}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)AO=x，則BO=2x，故AB=$\sqrt{5}$x，
故sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正確得出AO，BO的關(guān)系是解題關(guān)鍵．